Las ecuaciones diferenciales con retardo son utilizadas frecuentemente para modelar
problemas en física, ingeniería o biolog´ıa entre otros. Estas ecuaciones son un
ejemplo de ecuaciones diferenciales funcionales y la complejidad que presentan sus
soluciones es mucho mayor que la observada en ecuaciones diferenciales ordinarias,
incluso para ecuaciones de primer orden. Por la dependencia temporal con el retardo,
una solución queda determinada a partir de una función inicial definida en un
intervalo de tiempo, el problema que resulta es infinito-dimensional.
Muchas herramientas teóricas conocidas para el estudio de ecuaciones diferenciales
ordinarias se adaptan o generalizan para el estudio de ecuaciones diferenciales
con retardo. Es especialmente interesante, tanto desde el punto de vista teórico como
práctico, el estudio de soluciones oscilatorias en este tipo de ecuaciones. A lo
largo de esta tesis desarrollamos metodologías que nos permite calcular soluciones
periódicas y determinar su comportamiento dinámico.
La primer metodología presentada en esta tesis combina la utilización del método
de análisis homotópico y un método de colocación para calcular la estabilidad de
los ciclos periódicos existentes. Las ventajas que presenta este procedimiento y las
distintas adaptaciones que hemos realizado a los métodos, nos permiten describir escenarios
dinámicos interesantes en distintas ecuaciones con retardo. En primer lugar,
analizamos una ecuación de van der Pol realimentada con retardo, observamos distintas
bifurcaciones y resonancias en las que intervienen uno o varios ciclos periódicos.
Por otra parte, utilizamos el método de análisis homotópico como herramienta
teórica para probar la existencia de ramas de bifurcaciones de Hopf isocrónicas.
Otro método que permite el estudio de soluciones oscilatorias en ecuaciones diferenciales
con y sin retardo, es la metodología en frecuencia. En esta tesis presentamos
una metodología iterativa en frecuencia que generaliza los resultados existentes y
permite, utilizando teoría de singularidades, describir distintos escenarios dinámicos
relacionados con bifurcaciones de Hopf generalizadas. Por último, usamos el método
en frecuencia para estudiar sistemas discretos, demostramos la existencia de bifurcaciones
de gran interés y determinamos en forma analítica la interacción de las
mismas. / Delay differential equations are often used to model problems in physics, engineering
and biology among others. These equations are examples of functional
differential equations and their solutions have a much higher complexity than that
observed in ordinary differential equations, even for first order equations. By the
time dependence with the delay, a solution is determined from an initial function
defined in an interval of time, the problem then it is infinite-dimensional.
Many theoretical tools developed for the study of ordinary differential equations
are adapted or generalized to analyze delay differential equations. It is particularly
interesting from both theoretical and practical point of view, the study of oscillatory
solutions in this type of equations. Throughout this thesis we develop methodologies
that allow us to calculate periodic solutions and determine its dynamic behavior.
The first methodology presented in this thesis combines the use of homotopy
analysis method and a collocation method for calculating the stability of existing
periodic cycles. The advantages of this procedure and the adaptations we have made
to the methods, permit us to describe interesting dynamic scenarios in different
equations with delay. First, we analyzed a van der Pol equation with time–delay
feedback, we observed different bifurcations and resonances, which involved one or
more periodic cycles. Also, we use the homotopy analysis method as a theoretical
tool to prove the existence of branches of isochronous Hopf bifurcations.
Another method used in the study of oscillatory solutions in differential equations
with or without delay, is the frequency–domain approach. In this thesis we present a
frequency–domain iterative methodology that generalizes existing results and, if it is
combined with the use of singularity theory, allows us to describe various dynamic
scenarios related to generalized Hopf bifurcations. Finally, we use the frequency–
domain approach to analyze discrete systems with delay, we show the existence of
bifurcations of great interest and we determine analytically the interaction of these
bifurcations.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/451 |
| Date | 19 June 2014 |
| Creators | Bel, Andrea Liliana |
| Contributors | Reartes, Walter Alberto, Itovich, Griselda Rut |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 0 |
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