As pointed out by I. Moerdijk and G. Reyes in [63], C∞-rings have been studied specially for their use in Singularity Theory and in order to construct topos models for Synthetic Differential Geometry. In this work, we follow a complementary trail, deepening our knowledge about them through a more pure bias, making use of Category Theory and accounting them from a logical-categorial viewpoint. We begin by giving a comprehensive systematization of the fundamental facts of the (equational) theory of C∞-rings, widespread here and there in the current literature - mostly without proof - which underly the theory of C∞-rings. Next we develop some topics of what we call a ∞Commutative Algebra, expanding some partial results of [66] and [67]. We make a systematic study of von Neumann-regular C∞-rings (following [2]) and we present some interesting results about them, together with their (functorial) relationship with Boolean spaces. We study some sheaf theoretic notions on C∞-rings, such as ∞(locally)-ringed spaces and the smooth Zariski site. Finally we describe classifying toposes for the (algebraic) theory of ∞ rings, the (coherent) theory of local C∞-rings and the (algebraic) theory of von Neumann regular C∞-rings. / Conforme observado por I. Moerdijk e G. Reyes em [63], os anéis C∞ têm sido estudados especialmente tendo em vista suas aplicações em Teoria de Singularidades e para construir toposes que sirvam de modelos para a Geometria Diferencial Sintética. Neste trabalho, seguimos um caminho complementar, aprofundando nosso conhecimento sobre eles por um viés mais puro, fazendo uso da Teoria das Categorias e os analisando a partir de pontos de vista algébrico e lógico-categorial. Iniciamos o trabalho apresentando uma sistematização abrangente dos fatos fundamentais da teoria (equacional) dos anéis C∞, distribuídos aqui e ali na literatura atual - a maioria sem demonstrações - mas que servem de base para a teoria. Na sequência, desenvolvemos alguns tópicos do que denominamos Álgebra Comutativa C∞, expandindo resultados parciais de [66] e [67]. Realizamos um estudo sistemático dos anéis C∞ von Neumann-regulares - na linha do estudo algébrico realizado em [2]- e apresentamos alguns resultados interessantes a seu respeito, juntamente com sua relação (funtorial) com os espaços booleanos. Estudamos algumas noções pertinentes à Teoria de Feixes para anéis ∞, tais como espaços (localmente) ∞anelados e o sítio de Zariski liso. Finalmente, descrevemos toposes classicantes para a teoria (algébrica) dos anéis C∞, a teoria (coerente) dos anéis locais C∞ e a teoria (algébrica) dos anéis C∞ von Neumann regulares.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-14022019-203839 |
| Date | 09 November 2018 |
| Creators | Jean Cerqueira Berni |
| Contributors | Hugo Luiz Mariano, Peter Arndt, Ricardo Bianconi, Marcelo Esteban Coniglio, Vinicius Cifú Lopes |
| Publisher | Universidade de São Paulo, Matemática, USP, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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