Orientador: Rafael Ribeiro Dias Vilela de Oliveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2016. / No espaço de fases de sistemas dinâmicos, podem existir diferentes regiões as quais
correspondem a diferentes comportamentos futuros do sistema: as bacias de atração. Separando essas regiões, há um conjunto de pontos, o qual chamamos de fronteira, que pode possuir uma geometria regular ou fractal, essa última caracterizada por uma dimensão D
não inteira. A principal consequência de um sistema dinâmico possuir uma fronteira fractal
em seu espaço de fases está na dificuldade em se determinar o comportamento futuro
do sistema. De fato, dado que a precisão com a qual conseguimos medir um ponto é finita,
existe uma área no espaço de fases em que não sabemos ao certo a qual bacia de atração
o ponto pertence. Em especial, caso a fronteira seja fractal, essa área é proporcional a
N..D, onde é o erro de medição e N é a dimensão do sistema. Dessa forma, percebemos
a importância de conseguirmos calcular a dimensão D da fronteira fractal. Nesse trabalho,
primeiro apresentamos os principais conceitos de sistemas dinâmicos e geometria
fractal, relacionando essas estruturas geométricas ao comportamento dinâmico caótico.
Em seguida, definimos as fronteiras e estendemos a elas o conceito de geometria fractal.
Por último, apresentamos os métodos vigentes para o cálculo numérico da dimensão de
fronteiras fractais, a saber, o método da incerteza e o método da avaliação da função de
saída e, baseados no primeiro método, desenvolvemos um método alternativo: o método
da incerteza condicional. Observamos que o método desenvolvido nesse trabalho é válido
como um novo método para o cálculo da dimensão de fronteiras fractais, podendo ser
utilizado tanto em sistemas de tempo contínuo quanto discreto. / In the phase space of dynamical systems there may exist different regions which correspond
to different final states: the basins of attraction. Between different basins of
attraction, there is a set of points which we call basin boundary. Basin boundaries can be
either smooth or fractal, the latter being characterized by a non-integer dimension D. The
main consequence of fractal basin boundaries in the phase space of a dynamical system
is the difficulty of determining the system¿s final state. Indeed, knowing that we can only
measure a point with a finite precision, there is a phase space region where we cannot
know in which of the basins of attraction the point really is by looking at the system¿s
final state alone. In particular, for a fractal basin boundary, the area of the phase space
where we cannot predict the final state with certainty is proportional to N..D, with
being the measurement error and N the system¿s dimension. Therefore, it is important
to know the dimension D of the fractal basin boundary. In this work, we first present
the main concepts of dynamical systems and fractal geometry, linking these geometric
structures to chaotic behavior in the system. Later, we define basin boundaries, both
regular and fractal. At last, we present the two methods currently available to calculate
the dimension of fractal basin boundaries in dynamical systems, namely the uncertainty
method and the output function evaluation method. We propose a new method that is
based on the former one called the conditional uncertainty method and we show that this
method can calculate fractal dimensions of basin boundaries to a good accuracy either on
continuous or discrete-time dynamics.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:BDTD:102707 |
| Date | January 2016 |
| Creators | Oliveira, Vitor Martins de |
| Contributors | Oliveira, Rafael Ribeiro Dias Vilela de |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf, 86 f. : il. |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFABC, instname:Universidade Federal do ABC, instacron:UFABC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | http://biblioteca.ufabc.edu.br/index.php?codigo_sophia=102707&midiaext=72857, http://biblioteca.ufabc.edu.br/index.php?codigo_sophia=102707&midiaext=72856, Cover: http://biblioteca.ufabc.edu.brphp/capa.php?obra=102707 |
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