Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho, estudaremos o comportamento no infinito do seguinte
problema de Cauchy
iut + uxx − uv + i∞u = f(x) , x 2 R, t > 0 (1)
vt + _ βv + γ (|u|2)x = g(x) , x 2 R, t > 0 (2)
associadas Ãs condiÃÃes iniciais
u(x, 0) = u0(x) , v(x, 0) = v0(x) , x 2 Є R. (3)
A tÃcnica usada no trabalho consiste em trÃs etapas:
1. Mostrar a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua dos dados iniciais
e associar (4)-(6) uma famÃlia de operadores {S(t) : t ≥ 0} satisfazendo
as propriedades de semigrupo da seguinte forma: Para todo
t ≥ 0
S(t) H → H
u0 →! S(t)u0 := u(t) Є H,
onde ξ 0 = (u0, v0) Ã o dado inicial e (u(t), v(t)) Є H Ã a soluÃÃo de
(4)-(6)1
2. ExistÃncia de um conjunto limitado absorvente em h via estimativas a
priori, isto Ã, um conjunto limitado B(esta contido) H que atrai as Ãrbitas(2) numa
razÃo exponencial.
_________________________
1No nosso caso iremos tomar H = H1(R) Ã L2(R).
2Definimos a Ãrbita ou trajetÃrias passando por ξ 0 como sendo γ (ξ 0) = U [t≥0S(t) ξ 0 =
{(u(t), v(t)) : t≥ 0}.
3. Por fim, existÃncia de um atrator global A(para todo) H para o sistema (4)-
(6), isto Âe, A Ã um conjunto compacto de H, invariante por S(t) (ou
seja S(t)A = A , para todo t ≥0) e atrai todas as Ãrbitas do sistema
quando t → ∞
Para obtermos Ãxito, organizamos o trabalho como segue: No capÃtulo
2, obtemos estimativas a priori e conjuntos limitados absorventes. No
capÃtulo 3, mostramos a existÃncia, unicidade e dependÃncia contÃnua
dos dados iniciais. No capÃtulo 4, decompomos o semigrupo da soluÃÃo
em duas partes, uma uniformemente limitado em H2(R) Ã H1(R) e
outra decaindo exponencialmente em H1(R) Ã L2(R). No capÃtulo 5,
mostramos a compacidade assintotica do operador soluÃÃo e finalmente
no capÃtulo 6, provamos o resultado principal:
Teorema 0.1 Assuma que f Є L2(R), g Є H1(R). EntÃo o operador
soluÃÃo S(t) de (4)-(5) Âe um sistema dinÃmico contÃnuo em X1 = H1Ã L2(R) e possui um atrator global A satisfazendo
(a) A Âe compacto em X1 = H1 Ã L2(R),
(b) S(t)A = A , 8 t ≥ 0,
(c) para todo B(esta contido) X1 limitado,
Lim distx1 (S(t) B, A) = 0
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.teses.ufc.br:503 |
| Date | 16 February 2006 |
| Creators | Gleydson Chaves Ricarte |
| Contributors | Josà FÃbio Bezerra Montenegro, Cleon da Silva Barroso, Amauri da Silva Barros |
| Publisher | Universidade Federal do CearÃ, Programa de PÃs-GraduaÃÃo em MatemÃtica, UFC, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf, application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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