The delay Lyapunov equation is a matrix boundary value problem arising in the characterization of many properties of time-delay systems, for example stability analysis. Its numerical treatment is challenging. For the special case of single-delay systems, a new algorithm based on a delay free formulation has recently been proposed. Using this formulation it is possible to obtain a linear system of equations with an equivalent solution. This linear system can be solved with GMRES or a similar iterative method, thus allowing to efficiently solve large-scale problems. In addition to the preconditioner proposed in the literature, on the basis of solving a T-Sylvester equation, a new preconditioner for this iterative method is derived here. It uses the diagonals of the time-delay system’s n × n state matrices to compute an approximation of the action of the n² × n² matrix associated to the linear system. Computational cost and convergence of this new preconditioner are investigated and proved. Examples for its efficiency under certain conditions are given and it is compared to the preconditioner from the literature. A pseudospectral analysis of the corresponding operators is conducted to get a better understanding of the convergence of both preconditioners. Several ways to obtain pseudospectra based convergence estimates are presented and their descriptiveness for different types of problems is discussed. / Lyapunovekvationen för tidsfördröjningssystem är ett matrisrandvärdesproblem och är viktigt för att karakterisera tidsfördröjningssystem, till exempel igenom stabilitetsanalys. Denna ekvation är svår att lösa numeriskt. För specialfallet med bara en fördröjningsterm har en ny algoritm baserad på en fördröjningsfri formulering föreslagits. Använder man denna formulering är det möjligt att få ett linjärt system av ekvationer med en ekvivalent lösning. Detta system kan lösas med en effektiv metod för storskaliga problem som GMRES eller någon liknande iterativ metod. Förutom den förkonditionerare some föreslagits in litteraturen, som är baserad på att lösa en T-Sylvester ekvation, härleds här en ny förkonditionerare. Den använder diagonalerna av tidsfördröjningssystemets n × n statusmatriser för att beräkna en uppskattning av verkningen av n² × n² matrisen associerad med det linjära systemet. Beräkningskostnader och konvergens av denna nya förkonditionerare undersöks och bevisas. Dessutom genomförs en analys som bygger på pseudospectra av båda förkonditionerares tillhöriga operatorerna för att få en bättre förståelse av deras konvergens. Flera sätt för att uppnå pseudospectrabaserad konvergensuppskattningar presenteras. En analys genomförs för att visa hur väl uppskattningarna beskriver konvergensen.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-192633 |
| Date | January 2016 |
| Creators | Leitenmaier, Lena |
| Publisher | KTH, Numerisk analys, NA |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-MAT-E ; 2016:60 |
Page generated in 0.0016 seconds