Nous étudions l’analyse asymptotique en relativité générale sous deux aspects: le peeling et le scattering (diffusion) conforme. Le peeling est construit pour les champs scalaires linéaire et non-linéaires et pour les champs de Dirac en espace-temps de Kerr (qui est non-stationnaire et à symétrie simplement axiale), généralisant les travaux de L. Mason et J-P. Nicolas (2009, 2012). La méthode des champs de vecteurs (estimations d’énergie géométriques) et la technique de compactification conforme sont développées. Elles nous permettent de formuler les définitions du peeling à tous ordres et d’obtenir les données initiales optimales qui assurent ces comportements. Une théorie de la diffusion conforme pour les équations de champs sans masse de spîn n/2 dans l’espace-temps de Minkowski est construite.En effectuant les compactifications conformes (complète et partielle), l’espace-temps est complété en ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces isotropes représentant respectivement les points limites passés et futurs des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s’obtient en résolvant le problème de Cauchy pour l’équation rééchelonnée et en considérant les traces des solutions sur ces bords. L’inversibilité des opérateurs de trace, qui associent le comportement asymptotique passé ou futur aux données initiales, s’obtient en résolvant le problème de Goursat sur le bord conforme. L’opérateur de diffusion conforme est alors obtenu par composition de l’opérateur de trace futur avec l’inverse de l’opérateur de trace passé. / This work explores two aspects of asymptotic analysis in general relativity: peeling and conformal scattering.On the one hand, the peeling is constructed for linear and nonlinear scalar fields as well as Dirac fields on Kerr spacetime, which is non-stationary and merely axially symmetric. This generalizes the work of L. Mason and J-P. Nicolas (2009, 2012). The vector field method (geometric energy estimates) and the conformal technique are developed. They allow us to formulate the definition of the peeling at all orders and to obtain the optimal space of initial data which guarantees these behaviours. On the other hand, a conformal scattering theory for the spin-n/2 zero rest-mass equations on Minkowski spacetime is constructed. Using the conformal compactifications (full and partial), the spacetime is completed with two null hypersurfaces representing respectively the past and future end points of null geodesics. The asymptotic behaviour of fields is then obtained by solving the Cauchy problem for the rescaled equation and considering the traces of the solutions on these hypersurfaces. The invertibility of the trace operators, that to the initial data associate the future or past asymptotic behaviours, is obtained by solving the Goursat problem on the conformal boundary. The conformal scattering operator is then obtained by composing the future trace operator with the inverse of the past trace operator.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2017BRES0034 |
| Date | 07 April 2017 |
| Creators | Pham, Truong Xuan |
| Contributors | Brest, Nicolas, Jean-Philippe |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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