Ce travail a pour but de proposer des outils visant 'a comparer des résultats exp'erimentaux avec des modèles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale.Le "Mobile Immobile Model" (MIM) a été à l'origine d'importants progrès dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modèle généralise l'quation d'advection-dispersion (ADE) e nsupposant que les particules de fluide, comme de solut'e, peuvent ˆetre immo-bilis'ees (en relation avec la matrice solide) puis relˆachées, le piégeage et le relargage suivant de plus une cin'etique d'ordre un. Récemment, une version stochastique de ce modèle a 'eté proposée. Malgré de nombreux succès pendant plus de trois décades, le MIM reste incapable de repr'esenter l''evolutionde la concentration d'un traceur dans certains milieux poreux insaturés. Eneffet, on observe souvent que la concentration peut d'ecroˆıtre comme unepuissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinétique de piégeage-relargage diff'erente, certains auteurs ont propos'e une version fractionnaire,le "fractal MIM" (fMIM). C'est une classe d''equations aux d'eriv'ees par-tielles (e.d.p.) qui ont la particularit'e de contenir un op'erateur int'egral li'e'a la variable temps. Les solutions de cette classe d'e.d.p. se comportentasymptotiquement comme des puissances du temps, comme d'ailleurs cellesde l''equation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d'un projet incluant des exp'eriences de tra¸cageet de vélocimétrie par R'esistance Magn'etique Nucl'eaire (RMN) en milieuporeux insatur'e. Comme le MIM, le fMIM fait partie des mod'eles ser-vant 'a interpréter de telles exp'eriences. Sa version "e.d.p." est adapt'eeaux grandeurs mesur'ees lors d'exp'eriences de tra¸cage, mais est peu utile pour la vélocimétrie RMN. En effet, cette technique mesure la statistiquedes d'eplacements des mol'ecules excit'ees, entre deux instants fixés. Plus précisément, elle mesure la fonction caractéristique (transform'ee de Fourier) de ces d'eplacements. Notre travail propose un outil d'analyse pour ces expériences: il s'agit d'une expression exacte de la fonction caract'eristiquedes d'eplacements de la version stochastique du mod'ele fMIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus 'a partir du mouvement Brown-ien (plus un terme convectif) par des changement de temps aléatoires. Ondit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnéspar des changements de temps qui sont eux-mˆeme les inverses de processusde L'evy non d'ecroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associés aux modèles fMIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateursassoci'es au MIM sont des processus de Poisson composites. Des résultatsexp'erimenatux tr'es r'ecents on sugg'er'e d''elargir ceci 'a des vols de L'evy (plusg'en'eraux que le mouvement Brownien) subordonnés aussi.Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les mod'eles stochastiques pourla sous-diffusion a fait l'objet de nombreux travaux. Nous contribuons 'ad'etailler ce lien en faisant apparaˆıtre les flux de solut'e, en insistant sur une situation peu 'etudiée: nous examinons le cas o'u la cinétique de piégeage-relargage n'est pas la mˆeme dans tout le milieu. En supposant deux cinétiques diff'erentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du fMIMavec un opérateur intégro-diff'erentiel li'e au temps, mais dépendant de la position.Ces r'esultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustrés par des simulations utilisant la discrétisation d'intégrales fractionnaires etd'e.d.p. ainsi que la méthode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numériques. Les outils sur lesquels elles s'appuient sont présentés aussi.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00839892 |
| Date | 06 December 2012 |
| Creators | Rakotonasy, Solonjaka Hiarintsoa |
| Publisher | Université d'Avignon |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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