Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis esta dividida en seis partes.
La primera parte está dedicada a probar propiedades de Hadamard y teoremas del tipo de Liouville para soluciones viscosas de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales con término gradiente
\begin{equation}\label{eq06-10-13 1}
\mathcal{M}^{-}(|x|,D^2u)+\sigma(|x|)|Du|+f(x,u)\leq 0,\quad \ x\in\Omega,
\end{equation}
donde $\Omega=\mathbb{R}^N$ o un dominio exterior, las funciones $\sigma:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f:\Omega\times
(0,\infty)\to (0,\infty)$ son continuas las cuales satisfacen algunas condiciones extras.
En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones que explotan en la frontera para ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales
\begin{equation}\label{eq06-10-13 2}
\arraycolsep=1pt
\begin{array}{lll}
(-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=h(x),\quad & x\in\Omega,\\[2mm]
\phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}}
u(x)=0,\quad & x\in\bar\Omega^c,\\[2mm]
\phantom{ (-\Delta)^{\alpha} \ }
\lim_{x\in\Omega, x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty,
\end{array}
\end{equation}
donde $p>1$, $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, el operador $(-\Delta)^{\alpha}$ con $\alpha\in(0,1)$ es el Laplaciano fraccionario y $h:\Omega\to\R$ es una función continua la cual satisface algunas condiciones extras. Por otra parte, analizamos la unicidad y el comportamiento asimptótico de soluciones al problema (\ref{eq06-10-13 2}).
El objetivo principal de la tercera parte es investigar soluciones positivas para ecuaciones elípticas fraccionarias
\begin{equation}\label{eq06-10-13 3}
\arraycolsep=1pt
\begin{array}{lll}
(-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=0,\quad & x\in\Omega\setminus\mathcal{C},\\[2mm]
\phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}}
u(x)=0,\quad & x\in\Omega^c,\\[2mm]
\phantom{ (-\Delta) \ }
\lim_{x\in\Omega\setminus\mathcal{C}, \ x\to\mathcal{C}}u(x)=+\infty,
\end{array}
\end{equation}
donde $p>1$ y $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, $\mathcal{C}\subset \Omega$ es el frontera de dominio $G$
que es $C^2$ y satisface $\bar G\subset\Omega$.
Consideramos la existencia de soluciones positivas para el problema (\ref{eq06-10-13 3}). Mas aún, analizamos la unicidad, el comportamiento asimptótico y la no existencia al problema (\ref{eq06-10-13 3}).
En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones débiles de (F) $ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de
$\R^N (N\ge2)$ el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\alpha\in(0,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g$ es una función no decreciente satisfaciendo algunas hipótesis extras. Cuando $g$ satisface una condición de integrabilidad subcrítica, probamos la existencia y unicidad de una solución débil para el problema (F) para cualquier medida. En el caso donde $\nu$ es una masa de Dirac, caracterizamos el comportamiento asimptótico de soluciones a (F). Asimismo, cuando $g(r)=|r|^{k-1}r$ con $k$ supercrítico, mostramos que una condición de absoluta continuidad de la medida con respecto a alguna capacidad de Bessel es una condición necesaria y suficiente para que (F) sea resuelta.
El propósito de la quinta parte es investigar soluciones singulares débiles y fuertes de ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales. Sean
$p\in(0,\frac{N}{N-2\alpha})$, $\alpha\in(0,1)$, $k>0$ y $\Omega\subset \R^N(N\geq2)$ un dominio abierto acotado $C^2$ conteniendo a $0$ y $\delta_0$ la
masa de Dirac en $0$, estudiamos que la solución débil de $(E)_k$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=k\delta_0 $ en $\Omega$ la cual se desvanece en $\Omega^c$
es una solución débil singular de $(E^*)$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=0 $ en $\Omega\setminus\{0\}$ con el mismo dato externo. Por otra parte, estudiamos el límite de soluciones débiles de $(E)_k$ cuando $k\to\infty$. Para $p\in(0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$, el límite es infinito en $\Omega$.
Para $p\in(1+\frac{2\alpha}N,\frac{N}{N-2\alpha})$, el límite es una solución fuertemente singular de $(E^*)$.
Finalmente, en la sexta parte estudiamos la ecuación elíptica fraccionaria semilineal (E1) $(-\Delta)^\alpha u+\epsilon g(|\nabla u|)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$, el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\epsilon=\pm1$, $\alpha\in(1/2,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g:\R_+\mapsto\R_+$ es una funci\'on continua. Probamos la existencia de soluciones débiles para el problema (E1) cuando $g$ es subcrítico. Además, el comportamiento asimptótico y la unicidad de soluciones son descritas cuando $\epsilon=1$, $\nu$ es una masa de
Dirac y $g(s)=s^p$ con $p\in(0,\frac)$.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/115532 |
| Date | January 2014 |
| Creators | Chen, Huyuan |
| Contributors | Felmer Aichele, Patricio, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Matemática, Veron, Laurent, Bidaut-Veron, Marie-Francoise, Dávila Bonczos, Juan, Quaas Berger, Alexander, Roquejoffre, Jean-Michel |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | English |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
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