Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniera Civil Matemática / Consideramos un volumen $V\subset \R^3$ generado al rotar alrededor del eje $Z$ un dominio $\Omega \subset \R^2$ acotado y suave que vive en el plano $XZ$. En este trabajo se construye una solución del flujo de mapa armónico del volumen $V$ a la esfera $S^2$ que revienta en tiempo finito, el problema es
\begin{eqnarray*}
v_t &=& \Delta v + |\nabla v |^2 v \text{ in } V \times (0,T)\\
v &=& v_{\partial V} \text{ in } \partial V \times (0,T)\\
v(\cdot , 0) &=&v_0 \text{ in } V,
\end{eqnarray*}
donde $v: V \times [0,T) \to S^2$, $v_0 : \overline{V} \to S^2$ es suave y $v_{\partial V}=\left. v_0\right|_{\partial V} : \partial V \to S^2$. Dado un punto $q \in \Omega$ de define la circunferencia $c(q)$ generada al rotar el punto $q$ alrededor del eje Z. Se encuentran datos iniciales y de frontera tales que la solución $v$ revienta exactamente en la curva $c(q)$ en un tiempo finito pequeño. La construcción de la solución se hace reduciendo el problema a 2 dimensiones y usando el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} que transforma el problema en un sistema de \textit{inner-outer gluing} que separa el efecto principal de la ecuación cerca y lejos de la singularidad. Se obtiene una solución cuyo orden principal cerca de la singularidad tiene el perfil de un mapa armónico 1-corrotacional escalado.
En la introducción se recuerdan la ecuación de flujo de mapa armónico y su origen, se establece el problema y la reducción a 2 dimensiones. En el primer capítulo se enuncian resultados útiles de topología y análisis funcional, y propiedades probadas en \cite{dav} para los mapas armónicos 1-corrotacionales y el operador linealizado en torno a ellos. En el segundo capítulo se obtiene un ansatz de la solución y se usa el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} para reducir el problema a resolver un sistema de \textit{inner-outer gluing} que después se resuelve usando punto fijo. En el capítulo cuatro se obtienen las hipótesis para el punto fijo mediante estimaciones a priori obtenidas dividiendo el sistema en tres problemas principales: el problema interior, el problema exterior y el problema de los parámetros. En la parte final se concluye con algunas observaciones sobre este trabajo y posibles trabajos futuros en torno a el. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt 1150066 y el Centro
de Modelamiento Matemático, Proyecto Basal PFB 03 / Fondecyt 1150066 y CMM - Conicyt PIA AFB170001
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/159267 |
| Date | January 2018 |
| Creators | Pesce Reyes, Catalina Leticia |
| Contributors | Pino Manresa, Manuel del, Dávila Bonczos, Juan, Musso, Mónica, Peypouquet, Juan |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | English |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
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