Contact between beam elements is a specific category of contact problems which was introduced by Wriggers and Zavarise in 1997 for normal contact and later extended by Zavarise and Wriggers to include tangential and frictional contact. In these works, beam elements are assumed to have rigid circular cross-sections and each pair of elements cannot have more than one contact point. The method proposed in the early papers is based on introducing a gap function and calculating the incremental change of that gap function and its variation in terms of incremental change of the nodal displacement vector and its variation. Due to complexity of derivations, specially for tangential contact, it is assumed that beam elements have linear shape functions. Furthermore, moments at the contact point are ignored. In the work presented in this licentiate thesis, we mostly adress the questions of simplicity and robustness of implementations, which become critical once the number of contact is large. In the first paper, we have proposed a robust formulation for normal and tangential contact of beams in 3D space to be used with a penalty stiffness method. This formulation is based on the assumption that contact normal, tangents, and location are constant (independent of displacements) in each iteration, while they are updated between iterations. On the other hand, we have no restrictions on the shape functions of the underlying beam elements. This leads to a mathematically simpler derivation and equations, as the linearization of the variation of the gap function vanishes. The results from this formulation are verified and benchmarked through comparison with the results from the previous algorithms. The proposed method shows better convergence rates allowing for selecting larger loadsteps or broader ranges for penalty stiffness. The performance and robustness of the formulation is demonstrated through numerical examples. In the second paper, we have suggested two alternative methods to handle in-plane rotational contact between beam elements. The first method follows the method of linearizing the variation of gap function, originally proposed by Wriggers and Zavarise. To be able to do the calculations, we have assumed a linear shape function for the underlying beam elements. This method can be used with both penalty stiffness and Lagrange multiplier methods. In the second method, we have followed the same method that we used in our first paper, that is, using the assumption that the contact normal is independent of nodal displacements at each iteration, while it is updated between iterations. This method yields simpler equations and it has no limitations on the shape functions to be used for the beam elements, however, it is limited to penalty stiffness methods. Both methods show comparable convergence rates, performance and stability which is demonstrated through numerical examples. / Kontakt mellan balkelement är en speciell typ av kontaktproblem som först analyserades 1997 av Wriggers och Zavarise med avseende på kontakt i normalriktningen. Teorin utvecklades senare av Zavarise och Wriggers och inkluderade då även kontakt i tangentiella riktningar. I dessa arbeten antas balkelementen ha ett styvt cirkulärt tvärsnitt och varje elementpar kan inte ha mer än en kontaktpunkt. Metodiken i dessa artiklar bygger på att en glipfunktion införs och därefter beräknas den inkrementella förändringen av glipfunktionen, och också dess variation, som funktion av den inkrementella förändringen av förskjutningsvektorn och dess variation. På grund av de komplicerade härledningar som resulterar, speciellt för den tangentiella kontakten, antas det att balkelementen har linjära formfunktioner. Dessutom tas ingen hänsyn till de moment som uppstår vid kontaktpunkten. I de arbeten som presenteras i denna licentiatavhandling har vi valt att inrikta oss mot frågeställningar kring enkla och robusta implementeringar, något som blir viktigt först när problemet innefattar ett stort antal kontakter. I den första artikeln i avhandlingen föreslår vi en robust formulering för normal och tangentiell kontakt mellan balkar i en 3D-rymd.Formuleringen bygger på en kostnadsmetod och på antagandet att kontaktens normal- och tangentriktning samt dess läge förblir detsamma (oberoende av förskjutning) under varje iteration. Dock uppdateras dessa storheter mellan varje iteration. Å andra sidan har inga begränsningar införts för formfunktionerna hos de underliggande balkelementen. Detta leder till en matematiskt enklare härledning samt enklare ekvationer, eftersom variationen hos glipfunktionen försvinner. Resultat framtagna med hjälp av denna formulering har verifierats och jämförts med motsvarande resultat givna av andra metoder. Den föreslagna metoden ger snabbare konvergens vilket ger möjlighet att använda större laststeg eller större omfång hos styvheten i kontaktpunkten (s.k. kostnadsstyrhet). Genom att lösa numeriska exempel påvisas prestanda och robusthet hos den föreslagna formuleringen. I den andra artikeln föreslår vi två alternativa metoder för att hantera rotationer i kontaktplanet hos balkelementen. I den första metoden linjäriseras glipfunktionen. Denna metod presenterades först av Wriggers och Zavarise. För att kunna genomföra beräkningarna ansattes linjära formfunktioner för balkelementen. Den här metoden kan användas både med kostnadsmetoder och metoder baserade på Lagrangemultiplikatorer. I den andra föreslagna metoden har vi valt att följa samma tillvägagångsätt som i vår första artikel. Detta betyder att vi antar att kontaktens normalriktning är oberoende av förskjutningarna under en iteration men uppdateras sedan mellan iterationerna. Detta tillvägagångsätt ger enklare ekvationer och har inga begränsningar vad gäller de formfunktioner som används i balkelementen. Dock är metoden begränsad till att utnyttja kostnadsmetoder. Båda de föreslagna metoderna i denna artikel ger jämförbar konvergens, prestanda och stabilitet vilket påvisas genom att lösningar till olika numeriska exempel presenteras. / <p>QC 20160408</p>
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-183980 |
| Date | January 2016 |
| Creators | Motamedian, Hamid Reza |
| Publisher | KTH, Hållfasthetslära (Avd.), Stockholm |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Licentiate thesis, comprehensive summary, info:eu-repo/semantics/masterThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-HFL. Rapport/ Institutionen för hållfasthetslära, KTH, 1654-1472 ; 0591 |
Page generated in 0.0304 seconds