Ces travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre $alpha+2$ où $0 < alpha < 2$. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour $alpha = 1$. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas $0 <alpha < 1$ et $1 leq alpha < 2$. Dans les deux cas on démontre que la solution est positive si la condition initiale l'est. Le quatrième chapitre concerne une équation des milieux poreux fractionnaire. On montre la régularité Hölder de solutions faibles positives satisfaisant des estimées d'énergie. D'abord, on montre l'existence de solutions faibles qui satisfont des estimées d'énergie. On distingue deux cas $0 <alpha < 1$ et $1 leq alpha < 2$ à cause de problème de divergence. Puis on démontre les lemmes de De Giorgi qui sont des lemmes de réduction de l'oscillation d'en dessus et d'au-dessous. Ces deux lemmes ne suffisent pas pour montrer la régularité Hölder. On a besoin d'améliorer le résultat du lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus. Donc, on passe par un lemme des valeurs intermédiaires et on montrer un lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus amélioré. Enfin, on montre la régularité Hölder des solutions en utilisant la propriété scaling de ces solutions / In this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order $alpha + 2$ where $0 < alpha < 2$. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for $alpha = 1$. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev embedding theorem, that's why we distinguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$ because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling property
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2018PESC1061 |
| Date | 07 September 2018 |
| Creators | Tarhini, Rana |
| Contributors | Paris Est, Imbert, Cyril |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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