Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la correspondance de Langlands locale $p$-adique, imaginée par Breuil et établie par Colmez pour GL_2(Q_p). Soit L une extension finie de Q_p et soit V une L-représentation irréductible du groupe de Galois absolu de Q_p, de dimension 2. En utilisant la théorie des (phi,Gamma)-modules de Fontaine, Colmez associe à V une GL_2(Q_p)-représentation de Banach Pi(V), unitaire, admissible, topologiquement irréductible. On donne une nouvelle preuve, nettement plus simple, d'un théorème de Colmez, qui permet de décrire les vecteurs localement analytiques Pi(V)^an de Pi(V) en fonction du (phi,\Gamma)-module surconvergent attaché à V. Le résultat principal de cette thèse est une description simple de l'action infinitésimale de GL_2(Q_p) sur Pi(V)^an. En particulier, on montre que Pi(V)^an admet un caractère infinitésimal, que l'on peut calculer en fonction des poids de Hodge-Tate de V, ce qui répond à une question de Harris. En utilisant ces résultats, on montre aussi l'absence d'un analogue p-adique d'un théorème classique de Tunnell et Saito, répondant à une autre question de Harris. Nous étendons et précisons certains résultats de Colmez concernant le modèle de Kirillov des vecteurs U-finis de Pi(V) (U est l'unipotent supérieur de GL_2(Q_p)). En combinant cette étude avec la description de l'action infinitésimale, on obtient une démonstration simple d'un des résultats principaux de Colmez, caractérisant les représentations V telles que Pi(V) possède des vecteurs localement algébriques non nuls. Ce résultat permet de faire le pont avec la correspondance classique et est un des ingrédients clés de la preuve d'Emerton de la conjecture de Fontaine-Mazur en dimension 2. On étend nos méthodes pour démontrer l'analogue de ce résultat pour les déformations infinitésimales de V. Cela répond à une question de Paskunas et a des applications à la conjecture de Breuil-Mézard. Une autre application est l'étude du module de Jacquet de Pi(V)^an. On montre qu'il est non nul si et seulement si V est trianguline, ce qui permet de donner une preuve simple des conjectures de Berger, Breuil et Emerton. Enfin, dans un travail en collaboration avec Benjamin Schraen, nous démontrons le lemme de Schur pour les représentations de Banach et localement analytiques topologiquement irréductibles d'un groupe de Lie p-adique. Ce résultat basique n'était connu que pour des groupes de Lie commutatifs et pour GL_2(Q_p).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:pastel.archives-ouvertes.fr:pastel-00725370 |
| Date | 13 June 2012 |
| Creators | Dospinescu, Gabriel |
| Publisher | Ecole Polytechnique X |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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