El estudio de la mecánica cuántica en espacios de configuración no triviales dista mucho de estar agotado y constituye un problema de amplio interés actualmente.
Por ejemplo, no existe acuerdo sobre cuál es la ecuación de Schrödinger adecuada
que contemple la dependencia con respecto a la curvatura espacial de la variedad, es
decir el equivalente a una ecuación de Schrödinger para casos de curvatura distinta
de cero, la cual en el límite reproduzca la cuántica usual.
En esta tesis se estudian métodos de cuantización inspirados en las integrales
de Feynman para espacios de configuración que generalizan el euclidiano. En el
caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante, se construye un propagador
infinitesimal por medio de la integración en el álgebra de Lie del grupo vía el mapa
exponencial. Se obtiene una ecuación de Schrödinger modificada que incluye un
potencial correspondiente a la curvatura escalar de la variedad.
También se estudian métodos de cuantización holomorfa como el desarrollado por
B. C. Hall [57, 59, 61, 62], se los relaciona con la transformada de Segal-Bargmann
y se los conecta con integrales de Feynman, lo cual nos permite obtener resultados
originales. Se define un propagador infinitesimal que genera la evolución cuántica.
La medida de integración usada surge de la solución fundamental de la ecuación del
calor en la complexificación de la variedad.
En el caso de variedades riemannianas conexas orientables de curvatura cero
(euclidean space form) se muestra que existe un isomorfismo natural entre el espacio
de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el espacio de configuración y
el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable en el espacio fase. Los
productos escalares son definidos con una medida dada por la solución fundamental
de la ecuación del calor en cada espacio.
Este espacio de funciones holomorfas en el espacio fase resulta ser un espacio
de Hilbert con núcleo reproductor (reproducing kernel Hilbert space). Haciendo uso
de la existencia de un núcleo reproductor se obtiene el isomorfismo mencionado y
una integral de Feynman que coincide con las expresiones conocidas para el caso
euclidiano, ver [27, 139].
En particular, las euclidean space forms de dimensión 3 orientables compactas
presentan especial interés en cosmología, dado que permiten modelar la parte espacial
de los llamados modelos de universo plano [34]. Ver el trabajo más reciente de J.
Levin et al., en donde se busca desarrollar un modelo cosmológico plausible usando
euclidean space forms orientables y compactas de dimensión 3 de acuerdo con los
resutados de observaciones del fondo de radiación cósmico [98, 99, 100, 97]. / The study of quantum mechanics on nontrivial configuration spaces is far from
being exhausted and it is a topic of current wide interest. For instance, there is no
agreement on which is the appropriate Schrödinger equation that considers the dependence
on the spatial curvature of the manifold, i. e. the equivalent of a Schrödinger
equation for cases of non-zero curvature, which in the limit, reproduces the usual
quantum mechanics. In this thesis, quantization methods inspired by Feynman integrals for confi-
guration spaces, which generalize the Euclidean case, are studied. In the case of
Lie groups with a bi-invariant metric, an infinitesimal propagator is constructed by
integrating in the Lie algebra of the group via the exponential map. A modified
Schrödinger equation is obtained, which includes a potential corresponding to the
scalar curvature of the manifold. Also, holomorphic quantization methods are studied following Hall [57, 59, 61, 62], specifically in association with the Segal-Bargmann transform and the connection
with Feynman integrals, which allows us to obtain original results. An infinitesimal
propagator is defined, in order to obtain the quantum evolution. The measure
of integration used arises from the fundamental solution of the heat equation in the
complexification of the manifold. In the case of an orientable connected compact
at Riemannian manifold (euclidean space form) it is shown that there is a natural isomorphism between the
Hilbert space of square integrable complex functions on the configuration space and
the space of square integrable holomorphic functions on the phase space. The scalar
products are defined with a measure given by the fundamental solution of the heat
equation on each space. This space of holomorphic functions on the phase space turns out to be a reproducing kernel Hilbert space. Taking advantage of the existence of a reproducing
kernel, the above mentioned isomorphism and a path integral are obtained, the latter
of which coincides with the known expressions in the euclidean case, see [27, 139].
In particular, the 3-dimensional orientable compact euclidean space forms present
a particular interest for cosmology, since they could model the spatial part of the
flat-universe models [34]. See the most recent works of J. Levin et al. [98, 99, 100,
97], which seek to develop a plausible cosmological model using orientable compact
euclidean space forms of dimension 3 in agreement with results of observations made
on the cosmic microwave background radiation.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/2720 |
| Date | 01 July 2016 |
| Creators | Capobianco, Guillermo |
| Contributors | Reartes, Walter Alberto |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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