En el presente trabajo de tesis estudiaremos algunos aspectos geométricos de la envoltura convexa de una trayectoria del movimiento browniano planar en un determinado intervalo de tiempo. De manera más precisa, estudiaremos el perímetro, el área y el diámetro de dicha envoltura convexa. En el primer capítulo, revisaremos el movimiento browniano planar y algunas de sus propiedades tales como el principio de reflexión, la ley de la terna de Lévy y la ley del arcoseno que nos servirá como base teórica para justificar las cotas establecidas por James McRedmond y Chang Xu para estimar el diámetro promedio de dicha envoltura convexa. En el segundo capítulo se estudiarán las principales propiedades de cuerpos convexos y la envoltura convexa de una curva donde se desarrollará las propiedades que nos permitan justificar de manera más clara la fórmula de Cauchy para el perímetro y el área de un cuerpo convexo. En el tercer capítulo se utilizará como teorema principal la fórmula de Cauchy para justificar lo que se encontró de manera explícita tanto para el perímetro promedio y el área promedio de la envoltura convexa del recorrido de un movimiento browniano planar hasta el instante t = 1. Por último, en el cuarto capítulo se utilizará la terna de Lévy como teorema principal para el desarrollo de la estimación del diámetro promedio de dicha envoltura convexa. / In this thesis work we will study some geometric aspects of the convex envelope of
a trajectory of planar Brownian motion in a certain time interval. More precisely,
we will study the perimeter, area, and diameter of said convex envelope. In the
rst chapter, we will review the planar Brownian motion and some of its properties
such as the re ection principle, Lévy's triple law and the arcsine law that will serve
as a theoretical basis to justify the bounds established by James McRedmond and
Chang. Xu to estimate the expected diameter of said convex envelope. In the second
chapter, the main properties of convex bodies and the convex envelope of a curve will
be studied, where the properties that will allow us to justify more clearly Cauchy's
formula for the perimeter and area of a convex body will be developed. In the
third chapter, the Cauchy formula will be used as the main theorem to justify what
was found explicitly for both the expected perimeter and the expected area of the
convex envelope of the path of a planar Brownian motion up to the instant t = 1.
By Finally, in the fourth chapter, the Lévy triple will be used as the main theorem
for the development of the estimation of the diameter of said convex envelope. / Tesis
| Identifer | oai:union.ndltd.org:PUCP/oai:tesis.pucp.edu.pe:20.500.12404/17896 |
| Date | 19 January 2021 |
| Creators | Quesada Vargas, Juan Carlos |
| Contributors | Farfán Vargas, Jonathan Samuel |
| Publisher | Pontificia Universidad Católica del Perú, PE |
| Source Sets | Pontificia Universidad Católica del Perú |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | Atribución 2.5 Perú, info:eu-repo/semantics/openAccess, http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/pe/ |
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