Le sujet de cette thèse est la géométrie de contact, en particulier l'étude des orbites périodiques du champ de Reeb. Colin et Honda ont conjecturé que sur une variété hyperbolique munie d'une structure de contact universellement tendue, le nombre d'orbites périodiques de Reeb croit exponentiellement avec la période. Dans les cas non hyperboliques, ils prédisent un comportement polynomial de l'homologie de contact. On montre dans ce texte qu'une variété possédant une composante hyperbolique qui fibre sur le cercle porte une infinité de structures de contact non isomorphes pour lesquelles le nombre d'orbites périodiques de tout champ de Reeb non dégénéré croit exponentiellement avec la période. Ce résultat s'obtient grâce à un résultat de croissance de l'homologie de contact. De plus, on calcule l'homologie de contact et sa croissance dans un cas non hyperbolique : celui des structures universellement tendues non transversales aux fibres sur un fibré en cercles. Enfin, on étudie l'effet d'un recollement de rocade sur les orbites périodiques de Reeb. Cette opération décrit une modification élémentaire de la structure de contact. Elle consiste en l'attachement d'un demi-disque vrillé le long d'un arc legendrien contenu dans le bord de la variété. On montre que les orbites de Reeb créées s'expriment comme mots en les cordes de Reeb de l'arc d'attachement. On calcule l'homologie de contact d'un voisinage produit d'une surface convexe après recollement de rocade ainsi que de certaines structures sur le tore plein.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00677974 |
| Date | 09 December 2011 |
| Creators | Vaugon, Anne |
| Publisher | Université de Nantes |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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