We study the interconnections between the spin Benjamin-Ono (sBO) and half-wave maps (HWM) equations, a pair of nonlinear partial integro-differential equations that have recently been found to permit multi-soliton solutions, where the time evolution of the constituent solitons can be described in terms of the well-known, completely integrable, spin Calogero-Moser (sCM) system. By considering a symmetry transformation of the sCM dynamics we are led to introduce a scale parameter into the sBO equation, yielding what we call the rescaled sBO (rsBO) equation, which has both the sBO and HWM equations as special cases. Together with the addition of a new constant background term in the multi-soliton ansatz for the sBO equation, this allows us to formulate a theorem for the rsBO equation that unifies and generalizes previously known soliton theorems for the sBO and HWM equations. The theorem offers a new perspective on these equations; we use it to show the emergence of HWM dynamics in a certain background-dominated limit of the sBO equation, and to suggest a generalization of the HWM equation. Along the way we discuss basic properties of the new multi-soliton solutions, and how to construct them. We spend some time proving that indeed all previously known multi-soliton solutions of the HWM equation are given by the new theorem, and not just a subset. We discuss, and state a conjecture about, possible physical interpretations of the sBO equation. Finally, we apply the same ideas to the spin non-chiral intermediate long-wave (sncILW) and non-chiral intermediate Heisenberg ferromagnet (ncIHF) equations, find that they are related in the same way as the sBO and HWM equations, and formulate a unified theorem for their multi-soliton solutions. For ease of exposition we keep the discussion to hermitian solutions of the sBO and sncILW equations and $\bb R^3$-valued solutions of the HWM and ncIHF equations, though readers familiar with the subject will have no problem generalizing to the non-hermitian and $\bb C^3$-valued cases. / Vi studerar kopplingarna mellan sBO- (spin Benjamin-Ono) och HWM- (half-wave maps) ekvationerna, två ickelinjära partiella integrodifferentialekvationer som nyligen visat sig tillåta multisolitonlösningar, där tidsevolutionen av ingående solitoner kan beskrivas av det välkända, fullständigt integrerbara sCM- (spin Calogero-Moser) systemet. Genom att undersöka en symmetritransformation av sCM-dynamiken leds vi att introducera en skalparameter i sBO-ekvationen, vilket ger upphov till vad vi kallar för rsBO- (rescaled sBO) ekvationen, som har både sBO- och HWM-ekvationerna som specialfall. Tillsammans med införandet av en ny konstant bakgrundsterm i multisolitonansatsen för sBO-ekvationen så låter detta oss formulera en sats för rsBO-ekvationen som förenar och generaliserar tidigare kända solitonsatser för sBO- och HWM-ekvationerna. Satsen ger ett nytt perspektiv på dessa ekvationer; vi använder den för att påvisa uppkomsten av HWM-dynamik i en viss bakgrundsdominerad gräns av sBO-ekvationen, och för att föreslå en generalisering av HWM-ekvationen. Längs vägen diskuterar vi grundläggande egenskaper hos de nya multisolitonlösningarna och hur man konstruerar dem. Vi lägger lite tid på att bevisa att mycket riktigt alla tidigare kända multisolitonlösningar av HWM-ekvationen ges av den nya satsen, och inte bara en delmängd. Vi diskuterar, och formulerar en konjektur kring, möjliga fysiska tolkningar av sBO-ekvationen. Slutligen tillämpar vi samma idéer på sncILW- (spin non-chiral intermediate long-wave) och ncIHF- (non-chiral intermediate Heisenberg ferromagnet) ekvationerna, finner att de är relaterade på samma sätt som sBO- och HWM-ekvationerna, och formulerar en förenad sats för deras multisolitonlösningar. För att förenkla presentationen håller vi diskussionen till hermiteska lösningar av sBO- och sncILW-ekvationerna samt $\bb R^3$-värda lösningar av HWM och ncIHF-ekvationerna, men läsare bekanta med ämnet bör utan besvär kunna generalisera till de icke-hermiteska och $\bb C^3$-värda fallen.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-323442 |
| Date | January 2022 |
| Creators | Ottosson, Anton |
| Publisher | KTH, Fysik |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2022:038 |
Page generated in 0.0022 seconds