A K-teoria algébrica é um ramo da álgebra que associa para cada anel com unidade R, uma sequência de grupos abelianos chamados os n-ésimos K-grupos de R. Em 1970, Daniel Quillen dá uma definição geral dos K-grupos de um anel qualquer R a partir da +-construção do espaço classificante BGL(R). Por outro lado, considerando R um anel comutativo, obtém-se também a definição dos K-grupos de Milnor KMn (R). Usando o produto dos K-grupos de Quillen e Milnor e suas estruturas anti-comutativas, definimos o seguinte homomorfismo tn : KMn (R) → Kn(R): Mostraremos nesta dissertação que se R é um anel local com ideal maximal m tal que R / m é um corpo infinito, então esse homomorfismo é um isomorfismo para 0 ≤ n ≤ 2. Em geral tn nem sempre é injetor ou sobrejetor. Por exemplo quando n = 3, sabe-se que t3 não é sobrejetor e definimos a parte indecomponível de K3(R) como sendo o grupo Kind3 (R) := coker (KM3 (R) → t3 K3(R)). Usando alguns resultados de homologia dos grupos lineares, nesta dissertação mostraremos a existência da sequência exata de Bloch-Wigner para corpos infinitos. Esta sequência dá uma descrição explícita da parte indecomponível do terceiro K-grupo de um corpo infinito. TEOREMA (Sequência exata de Bloch-Wigner). Seja F um corpo infinito e seja p(F) o grupo de pre-Bloch de F, isto é, o grupo quociente do grupo abeliano livre gerado pelos símbolos [a], a ∈ F×, pelo subgrupo gerado por elementos da forma [a] - [b] + [b/a] - [1-a-1 /1-b-1] + [1-a /1-b] com a, b ∈ F× - {1}, a /= b. Então temos a sequência exata TorZ1 (μ (F), μ (F)) ~ → Kind3 (F) → p(F) → (F× ⊗ ZFx)σ F×)σ → K2(F) → 0 onde (F× ⊗ ZF×)σ := (F×; ⊗ ZF×)/<a ⊗ b + b ⊗ a | a, b ∈ F×> e TorZ1 (μ (F); μ (F)) ~ é a única extensão não trivial de Z=2Z por TorZ1 (μ (F); μ (F)) se char(F) ≠ 2 e μ 2 ∞ (F) é finito e é TorZ1 (μ (F); μ (F)) caso contrário. O homomorfismo p(F) → (F× ⊗ ZF×) σ é definido por [a] → a ⊗ (1-a). O estudo da sequência exata de Bloch-Wigner é justificada pela relação entre o segundo e terceiro K-grupo de um corpo F. / The algebraic K-theory is a branch of algebra that associates to any ring with unit R a sequence of abelian groups called n-th K-groups of R. In 1970, Daniel Quillen gave a general definition of K-groups of any ring R using the +-construction of the classifying space BGL(R). On the other hand, if we consider a commutative ring R, we can define the Milnors K-groups, KMn (R), of R. Using the product of the Quillen and Milnors K-groups and their anti-commutative structure, we define a natural homomorphism tn : KMn (R) → Kn(R): In this dissertation, we show that if R is a local ring with maximal ideal m such that R=m is infinite, then this map is an isomorphism for 0<= n<= 2. But in general tn is not injective nor is surjective. For example when n = 3, we know that t3 is not surjective and define the indecomposable part of K3(R) as the group Kind3 (R) := coker (KM3 (R) → t3 K3(R)). Using some results about the homology of linear groups, in this dissertation we will prove the Bloch-Wigner exact sequence over infinite fields. This exact sequence gives us a precise description of the indecomposable part of the third K-group of an infinite field. THEOREM (Bloch-Wigner exact sequence). Let F be an infinite field and let p(F) be the pre-Bloch group of F, that is, the quotient group of the free abelian group generated by symbols [a], a ∈ F× - [1}, by the subgroup generated by the elements of the form [a][b]+ b/a][ 1-a-1/1-b-1]+ [1-a/1-b] with a; b ∈ F×, a =/ b. Then we have the exact sequence TorZ1 (μ (F), μ (F)) ~ → Kind3 (F) → p(F) → (F× ⊗ ZF×)$sigma; → K2(F) → 0 where (F× ⊗ ZF×)σ := (F× ⊗ ZF×) / a &38855; b +b ⊗ a | a; b ∈ F× and TorZ1(μ(F);μ(F)) is the unique non trivial extension of Z=2Z by TorZ1 (μ (F); μ (F)) if char(F) =/ 2 and μ2 ∞ is finite and is TorZ1 (μ (F);μ (F)) otherwise. The homomorphism p(F) → (F×ZF×)%sigma; is defined by [a] → a ⊗ (1-a). As it is shown, the study of the Bloch-Wigner exact sequence is also justified by the relation between the second and third K-group of a field F.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-09012017-162909 |
| Date | 14 September 2016 |
| Creators | Ordinola, David Martín Carbajal |
| Contributors | Mirzaii, Behrooz |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | Dissertação de Mestrado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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