Esta tesis tiene como objeto el estudio de dos temas principales: en primer lugar nos
abocamos al estudio de una clase de cálculos de Gentzen, los hipersecuentes; y en segundo
lugar, abordamos el estudio de ciertas lógicas a las que dan lugar las álgebras tetravalentes
modales. Ambos temas quedarán relacionados, como veremos en el Capítulo III.
Los hipersecuentes son una generalización natural de los secuentes ordinarios que resultan
ser una herramienta muy adecuada para presentar formulaciones estilo Gentzen de diversas
l´ogicas con la muy deseable propiedad de eliminación de corte (cut-elimination property).
En los años recientes, el desarrollo de métodos para combinar lógicas ha recibido mucha
atención, y las motivaciones para que esto suceda provienen de áreas tan disímiles como
la Filosofía y las Ciencias de la Computación (ver, por ejemplo, [13] y [15]). El fibring
categorial (tambi´en conocido como fibring algebraico) introducido en [55], ha demostrado
ser una herramienta amplia y poderosa para combinar lógicas.
Por otro lado, la clase TMA de las álgebras tetravalentes modales fue considerada por
primera vez por Antonio Monteiro, y fueron estudiadas principalmente por I. Loureiro,
A.V. Figallo, A. Ziliani y P. Landini. Posteriormente, J.M. Font y M. Rius en [31] se
interesaron en las lógicas a las que dan lugar los aspectos reticulares de estas ´ágebras.Estos mismos autores introdujeron un cálculo de secuentes para una de estas lógicas, a
saber, T ML.
En el Capítulo II, presentamos un modo alternativo de formular cálculos de hipersecuentes
mediante la introducción de metavariables para fórmulas, secuentes e hipersecuentes respectivamente,
en el lenguaje objeto. Se introduce una categoría adecuada de cálculos
de hipersecuentes y se definen ambos tipos de fibring: restringido y no restringido. Los
morfismos introducidos resultar´an ser una novedosa noción de traducción entre lógicas
la cual preserva meta-propiedades en un sentido fuerte. Finalmente, exploraremos algunas
características de preservación, en particular mostraremos un resultado sobre la
preservación por fibring de la propiedad de interpolación de Craig (CIP).
En el Capítulo III, retomamos la cuestion de investigar diferentes aspectos lógicos de
las TMAs. Considerando la implicación contrapositiva introducida por A. Figallo y P.
Landini en [28], introducimos tres cálculos de Hilbert distintos para la lógica T ML, como
así tambien, un sistema de tableau correcto y completo para la semántica de las TMAs.
Los aspectos paraconsistentes de T ML tambi´en son analizados desde el punto de vista
de las Logicas de la Inconsistencia Formal, introducidas por W. Carnielli y J. Marcos
en [18], y posteriormente estudiadas en [17]. La lógica tetravalente modal normal T MLN
es luego estudiada. Finalmente, probamos que ambas lógicas son sublógicas propias del
cálculo proposicional clásico que no son maximales.
En el Capitulo IV, mostramos que el cálculo de secuentes presentado por Font y Rius
en [31] para T ML no tiene la propiedad de eliminación de corte. Formulamos, entonces,
un cálculo de hipersecuentes correcto y completo con respecto a T ML que si tiene esta
tan deseable propiedad.
Finalmente, en el Capítulo V, motivados por el problema de enriquecer a T ML con una
implicación deductiva, probamos que las álgebras tetravalentes modales de A. Monteiro
enriquecidas con un complemento booleano coinciden con las álgebras de De Morgan
enriquecidas con un complemento booleano, o equivalentemente, con las álgebras de Boole
enriquecidas con una negación de De Morgan. Estas últimas son denominadas álgebras
de Boole involutivas (o simétricas) (IBAs), introducidas por Gr. Moisil y principalmente
estudiadas por A. Monteiro. Probamos que las IBAs son la contrapartida algebraica de la
lógica modal S5 que satisface ecuaciones adicionales. De esta manera, la lógica que puede
asociarse naturalmente a las IBAs es una extensión modal propia de S5. Presentamos
un cálculo de Hilbert correcto y completo para esta extensión de S5 en el lenguaje de las
IBAs, esto es, sin modalidades. / The aim of this thesis is the study of two main topics. In the first place we focus on the
study of a particular class of Gentzen systems, the so called hypersequents; and in the
second place, we address the study of certain logics which are given raised by tetravalent
modal algebras. Both topics will be relate as we will see in Chapter III.
Hypersequents are a natural generalization od ordinary sequents and turned out to be a
very suitable tool for presenting Gentzen style formulations of diverse logics with the very
desirable cut-elimination property. In recent years, methods for combining logics have
gained a lot of attention, and motivations come from different areas such as Philosophy
and Computer Science (see for instance [13] y [15]). Categorical fibring (also known as
algebraic fibring) introduced in [55], has shown to be a very wide and powerful tool for
combining logics.
On the other hand, the class TMA of tetravalent modal algebras was first considered by
Antonio Monteiro, and were studied mainly by I. Loureiro, A.V. Figallo, A. Ziliani and
P. Landini. Later, J.M. Font and M. Rius en [31] were interested in the logics that can be
defined taking into account the lattice–theoretical aspects of these algebras. These same
authors introduced a sequent calculus for one of these logics, namely, T ML.
In Chapter II, we present an alternative way to formulate hypersequent calculi introducing
meta–variables for formulas, sequents and hypersequents, respectively, in the language.
A suitable category of hypersequent calculi and both kind of fibring: constrained and
unconstrained. The introduced morphisms turned out to bea novel notion of translation
between logics which preserve meta–properties in a strong sense. Finally, we explore some
preservation features,in particular we show a preservation result by fibring of the Craig
interpolation property (CIP).
In Chapter III, we retake the study of different logical aspects of TMAs. Considering the
contrapositive implication introduced by A. Figallo and P. Landini in [28], we introduce
three different Hilbert calculus for the logic T ML, as well as, a tableau system sound and
complete with respect to the semantics of TMAs. The paraconsistent aspects of T ML
also are analyzed under the point of view of Logics of Formal Inconsistency, introduced
by W. Carnielli and J. Marcos in [18], and later studied in [17]. Normal modal tetravalent
logic T MLN is also studied. Finally, we prove that both logics are proper sublogics of
classical propositional calculus that are not maximal. In Chapter IV, we show that the sequent calculus presented by Font and Rius en [31] for T ML does not admit the cut–elimination property. So, we formulate a hypersequent calculus sound and complete with respect to T ML which does admit the so longed
property. Finally, in Chapter V, motivated by the question of enrich T ML with a deductive implication,
we prove that Monteiro’s tetravalent modal algebras enriched with a boolean
complement coincide with De Morgan enriched with a boolean complement, or equivaxiv
lently, they coincide with Boolean algebras enriched with a De Morgan negation. The
latter are called involutive Boolean algebras (or symetric Boolean algebras) (IBAs), introduced
by Gr. Moisil and mainly studied by A. Monteiro. We prove that IBAs are an
algebraic counterpart to yhe modal logic S5 that satisfies some additional equations. So,
the logic that naturally can be associated to IBAs is a proper modal extension of S5. We
present a Hilbert calculus sound and complete with respect to this extension of S5 in the
language of IBAs, i.e., without modalities.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/2471 |
| Date | 28 February 2013 |
| Creators | Figallo, Martín |
| Contributors | Coniglio, Marcelo E., Ziliani, Alicia N. |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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