Return to search

Carlson type inequalities and their applications

This thesis treats inequalities of Carlson type, i.e. inequalities of the form <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>∥f∥</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi></mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">≤</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo mml:stretchy="false">∏</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mi>∥f∥</mml:mi><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">θ</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mrow></mml:semantics></mml:math> where <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo mml:stretchy="false">∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">θ</mml:mo><mml:mn>i </mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:semantics></mml:math> and K is some constant, independent of the function f. X and <mml:math><mml:semantics><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:semantics></mml:math> are normed spaces, embedded in some Hausdorff topological vector space. In most cases, we have <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:semantics></mml:math>, and the spaces involved are weighted Lebesgue spaces on some measure space. For example, the inequality <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo mml:stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo mml:stretchy="false">∞</mml:mo></mml:munderover><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mml:fontstyle="italic">dx</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">≤</mml:mo><mml:msqrt><mml:mo mml:stretchy="false">π</mml:mo></mml:msqrt></mml:mrow><mml:msup><mml:mfenced mml:open="(" mml:close=")"><mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo mml:stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo mml:stretchy="false">∞</mml:mo></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mml:fontstyle="italic">dx</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo mml:stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mfenced mml:open="(" mml:close=")"><mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo mml:stretchy="false">∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo mml:stretchy="false">∞</mml:mo></mml:munderover><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msup></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mml:fontstyle="italic">dx</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo mml:stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:semantics></mml:math> first proved by F. Carlson, is the above inequality with <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:semantics></mml:math>, <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">θ</mml:mo><mml:mn>1 </mml:mn></mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">θ</mml:mo><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1 </mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:semantics></mml:math>, <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">ℝ</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">+</mml:mo><mml:mn>, </mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mml:fontstyle="italic">dx</mml:mi></mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>, </mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>1 </mml:mn></mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">ℝ</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">+</mml:mo><mml:mn>, </mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mml:fontstyle="italic">dx</mml:mi></mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:semantics></mml:math> and <mml:math><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mo mml:stretchy="false">ℝ</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">+</mml:mo><mml:mn>, </mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>2 </mml:mn></mml:msup><mml:mi mml:fontstyle="italic">dx</mml:mi></mml:mrow><mml:mo mml:stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:semantics></mml:math>. In different situations, suffcient, and sometimes necessary, conditions are given on the weights in order for a Carlson type inequality to hold for some constant K. Carlson type inequalities have applications to e.g. moment problems, Fourier analysis, optimal sampling, and interpolation theory.

Identiferoai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:uu-3296
Date January 2003
CreatorsLarsson, Leo
PublisherUppsala universitet, Matematiska institutionen, Uppsala : Matematiska institutionen
Source SetsDiVA Archive at Upsalla University
LanguageSwedish
Detected LanguageDanish
TypeDoctoral thesis, comprehensive summary, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, text
Formatapplication/pdf
Rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess
RelationUppsala Dissertations in Mathematics, 1401-2049 ; 26

Page generated in 0.0028 seconds