Cette thèse présente quelques contributions à l'étude qualitative de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dans des modèles issus de l'optique et de la mécanique des fluides. Nous nous intéressons plus précisément à l'existence de solutions et à leur stabilité temporelle. Le Chapitre 1 est consacré à l'équation de Lugiato-Lefever, qui est une variante de l'équation de Schrödinger non linéaire et qui a été dérivée dans plusieurs contextes en optique. En utilisant des outils de la théorie des bifurcations et des formes normales, nous procédons à une étude systématique des solutions stationnaires de cette équation, et prouvons l'existence de solutions périodiques et localisées. Dans le Chapitre 2, nous présentons un critère simple d'instabilité linéaire pour des ondes non linéaires. Nous appliquons ce résultat aux équations de Lugiato-Lefever, de Kadomtsev-Petviashvili-I et de Davey-Stewartson. Ces deux dernières équations sont des équations modèles dérivées en mécanique des fluides. Dans le Chapitre 3, nous montrons un critère d'instabilité linéaire pour des solutions périodiques de petite amplitude, par rapport à certaines perturbations quasipériodiques. Ce résultat est ensuite appliqué à l'équation de Lugiato-Lefever. / In this thesis we present several contributions to qualitative study of solutions of nonlinear partial differential equations in optics and fluid mechanics models. More precisely, we focus on the existence of solutions and their stability properties. In Chapter 1, we study the Lugiato-lefever equation, which is a variant of the nonlinear Schrödinger equation arising in sereval contexts in nonlinear optics. Using tools from bifurcation and normal forms theory, we perfom a systematic analysis of stationary solutions of this equation and prove the existence of periodic and localized solutions. In Chapter 2, we present a simple criterion for linear instability of nonlinear waves. We then apply this result to the Lugiato-Lefever equation, to the Kadomtsev-Petviashvili-I equation and the Davey-Stewartson equations. These last two equations are model equations arising in fluid mechanics. In Chapter 3, we prove a criterion for linear instability of periodic solutions with small amplitude, with respect to certain quasiperiodic perturbations. This result is then applied to the Lugiato-Lefever equation.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2017UBFCD008 |
| Date | 06 July 2017 |
| Creators | Godey, Cyril |
| Contributors | Bourgogne Franche-Comté, Haragus, Mariana |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French, English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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