El objetivo principal de este trabajo es el estudio del cálculo de la distancia aparente de un código abeliano, la cual es una cota para su distancia mínima. Asimismo, también son objeto de este trabajo el desarrollo de la noción de cota BCH y código BCH multivariable, de las construcciones multivariables y las aplicaciones a los códigos cíclicos que se desprenden de dichas nociones. Un primer problema concreto que abordamos en esta tesis es determinar cuándo en un código cíclico la mayor de sus cotas BCH coincide con su distancia mínima. En este sentido hemos encontrado condiciones en términos de los divisores del polinomio xr-1 en ciertas extensiones del cuerpo base de los códigos que consideramos en este trabajo. Es más, a partir de estos resultados mostramos un método de construcción de códigos para los cuales el máximo de sus cotas BCH y su distancia mínima coinciden. En 1970, P. Camion [1] extendió el estudio de la cota BCH a la familia de los códigos abelianos al introducir la noción de distancia aparente de un código abeliano. En el caso de los códigos cíclicos, la distancia aparente y la (máxima) cota BCH del código, coinciden. La distancia aparente de un código abeliano en un anillo semisimple es el mínimo de la distancia aparente de ciertos polinomios que corresponden con la transformada de Fourier discreta de los elementos de todos los subconjuntos del conjunto de idempotentes que pertenecen al código. Esto implica que el cálculo es de orden exponencial. Así, en la práctica, el número de operaciones requeridas es muy elevado, por lo que es pertinente plantearse la búsqueda de un método alternativo que simplifique el original. En [2], R. E. Sabin realizó la primera reducción de los cálculos para obtener la distancia aparente de un polinomio fijo usando ciertas manipulaciones de matrices en el contexto de los llamados “2-D cyclic codes" (códigos abelianos en dos variables). Aún cuando el método de Sabin simplifica el original, no ayuda en nada a reducir el número de cálculos necesarios en el cómputo de la distancia aparente de un código. Así que el problema de la complejidad siguió abierto. En el trabajo de Camion antes mencionado, puede comprobarse que la distancia aparente de un código cíclico es precisamente la distancia aparente de un polinomio asociado al idempotente generador del código (concretamente, la transformada de Fourier). Hay ejemplos que muestran que, en el caso multivariable, dicha igualdad no se verifica, así que es natural preguntarse si en ese caso puede obtenerse la distancia aparente a partir de ciertas manipulaciones sobre dicho polinomio o específicamente sobre la hipermatriz (de coeficientes) asociada a la imagen bajo la transformada de Fourier del idempotente generador, respecto de ciertas raíces de la unidad prefijadas. Éste es el objetivo principal alcanzado en este trabajo: presentar un algoritmo para calcular la distancia aparente de un código abeliano basándose en el manejo de hipermatrices, de tal forma que la cantidad de operaciones involucradas se reduzca notablemente. De hecho, en el caso caso de dos variables se reduce hasta el orden lineal. Una vez que el algoritmo ha sido desarrollado, el siguiente paso natural ha sido presentar una noción de código BCH multivariable que nos ha permitido extender muchos de los resultados clásicos sobre códigos BCH cíclicos. Además, hemos encontrado aplicaciones de nuestras técnicas en la construcción de códigos abelianos con distancia aparente predeterminada. REFERENCIAS [1] P. Camion, Abelian Codes, MRC Tech. Sum. Rep. \# 1059, University of Wisconsin, 1971. [2] R. Evans Sabin, On Minimum Distance Bounds for Abelian Codes, Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing, Springer-Verlag, 1992
| Identifer | oai:union.ndltd.org:TDX_UM/oai:www.tdx.cat:10803/283087 |
| Date | 26 September 2014 |
| Creators | Bueno Carreño, Diana Haidive |
| Contributors | Bernal Buitrago, José Joaquín, Simón Pinero, Juan Jacobo, Universidad de Murcia. Departamento de Matemáticas |
| Publisher | Universidad de Murcia |
| Source Sets | Universidad de Murcia |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| Format | 143 p., application/pdf |
| Source | TDR (Tesis Doctorales en Red) |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess, ADVERTENCIA. El acceso a los contenidos de esta tesis doctoral y su utilización debe respetar los derechos de la persona autora. Puede ser utilizada para consulta o estudio personal, así como en actividades o materiales de investigación y docencia en los términos establecidos en el art. 32 del Texto Refundido de la Ley de Propiedad Intelectual (RDL 1/1996). Para otros usos se requiere la autorización previa y expresa de la persona autora. En cualquier caso, en la utilización de sus contenidos se deberá indicar de forma clara el nombre y apellidos de la persona autora y el título de la tesis doctoral. No se autoriza su reproducción u otras formas de explotación efectuadas con fines lucrativos ni su comunicación pública desde un sitio ajeno al servicio TDR. Tampoco se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a TDR (framing). Esta reserva de derechos afecta tanto al contenido de la tesis como a sus resúmenes e índices. |
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