Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nesta Tese, apresentamos a mecÃnica quÃntica nÃo-aditiva (MQNA), uma teoria desenvolvida a partir de primeiros princÃpios com o intuito de entender quais sÃo os efeitos da mÃtrica do espaÃo na teoria quÃntica. Em espaÃos nÃo-euclideanos, uma translaÃÃo de comprimento ∆x nÃo leva necessariamente uma partÃcula de uma posiÃÃo x para outra x + ∆x. O resultado dessa translaÃÃo depende da mÃtrica. Esse à o ponto de partida para o desenvolvimento da MQNA. AtravÃs de uma redefiniÃÃo do operador translaÃÃo, obtivemos novas relaÃÃes de comutaÃÃo entre os operadores posiÃÃo e momentum e uma equaÃÃo tipo equaÃÃo de SchrÃdinger que descreve a evoluÃÃo temporal do estado da partÃcula. Mostramos que essa equaÃÃo, juntamente com certas condiÃÃes de contorno, pode ser vista como um problema de Sturm-Liouville, garantindo que as energias da partÃcula sÃo reais e que os autoestados da hamiltoniana sÃo ortonormais e formam uma base no espaÃo dos estados. Apesar dessas modificaÃÃes, mostramos que continuam vÃlidos o determinismo na evoluÃÃo temporal, o princÃpio da superposiÃÃo e a conservaÃÃo local e global da probabilidade. Em contrapartida, generalizamos o teorema de Ehrenfest, mostrando que, para os valores mÃdios das grandezas fÃsicas, a MQNA cai na mecÃnica clÃssica em um referencial nÃo inercial, e demonstramos a existÃncia de uma incerteza mÃnima diferente de zero no momentum. AlÃm disso, investigamos, tanto classicamente como quanticamente, os efeitos dinÃmicos da mÃtrica na evoluÃÃo temporal de uma partÃcula livre. Para realizar a simulaÃÃo quÃntica tivemos que adaptar a tÃcnica split operator para resolver numericamente a nova equaÃÃo de SchrÃdinger. Por fim, exploramos a possibilidade de mapearmos diversos problemas fÃsicos de naturezas distintas atravÃs do surgimento de um potencial efetivo, consequÃncia de uma simples mudanÃa de coordenadas. / In this thesis, we study the nonadditive quantum mechanics (NAQM), which is a theory developed from first principles in order to understand the effects of the space metric in the quantum theory. In non-Euclidean spaces, the translation of length ∆x does not necessarily take a particle from the position x to x + ∆x. The result of this translation depends on the metric. This is the starting point for the development of the NAQM. Through a redefinition of the translation operator, we obtain new commutation relations between the position operator and the momentum operator, and a SchrÃdinger-like equation which describes the time evolution of the state of a particle. We show that this equation, with appropriate boundary conditions, can be seen as a Sturm-Liouville problem, ensuring that the energies of the particle are real and that the eigenstates of the hamiltonian are orthonormal and form a basis in the space of the states. In spite of these modifications, we show the determinism in the time evolution, the superposition principle and the local and global probability conservation remain valid. On the other hand, we generalize the Ehrenfest theorem, showing that, for the average values of the physical quantities, the NAQM is identical to the classical mechanics in a non-inertial reference frame, and we demonstrate the existence of a nonzero minimum uncertainty for the momentum. Besides, we investigate, classically as well as quantically, the dynamical effects of the metric in the time evolution of a free particle. In order to perform the quantum simulation, we adapt the split operator technique to solve numerically the new SchrÃdinger equation. Lastly, we explore the possibility of mapping of several physical problems of different nature through the arising of an effective potential which appears due to a simple change of coordinates.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.teses.ufc.br:10162 |
| Date | 15 October 2015 |
| Creators | JoÃo Philipe Macedo Braga |
| Contributors | Raimundo Nogueira da Costa Filho |
| Publisher | Universidade Federal do CearÃ, Programa de PÃs-GraduaÃÃo em FÃsica, UFC, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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