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Previous issue date: 2012-04-16 / In Finsler geometry, we have several volume forms, hence various of mean curvature
forms. The two best known volumes forms are the Busemann-Hausdorff and Holmes-
Thompson volume form. The minimal surface with respect to these volume forms are
called BH-minimal and HT-minimal surface, respectively. Let (R3; eFb) be a Minkowski
space of Randers type with eFb = ea+eb; where ea is the Euclidean metric and eb = bdx3;
0 < b < 1: If a connected surface M in (R3; eFb) is minimal with respect to both volume
forms Busemann-Hausdorff and Holmes-Thompson, then up to a parallel translation of
R3; M is either a piece of plane or a piece of helicoid which is generated by lines screwing
along the x3-axis. Furthermore it gives an explicit rotation hypersurfaces BH-minimal
and HT-minimal generated by a plane curve around the axis in the direction of eb] in
Minkowski (a;b)-space (Vn+1; eFb); where Vn+1 is an (n+1)-dimensional real vector
space, eFb = eaf eb
ea ; ea is the Euclidean metric, eb is a one form of constant length
b = kebkea; eb] is the dual vector of eb with respect to ea: As an application, it give us an
explicit expression of surface of rotation “ forward” BH-minimal generated by the rotation
around the axis in the direction of eb] in Minkowski space of Randers type (V3; ea+eb): / Na Geometria de Finsler, temos várias formas volume, consequentemente várias formas
curvaturas médias. As duas mais conhecidas são as formas de volumes Busemann-
Hausdorff e Holmes-Thompson. As superfícies mínimas com respeito a estes são chamados
superfícies BH-mínimas e HT-mínimas, respectivamente. Seja (R3; eFb) um espaço
de Minkowski do tipo Randers com eFb = ea+eb; onde ea é a métrica Euclidiana e
eb = bdx3;0 < b < 1: Uma superfície em (R3; eFb) conexa M é mínima com respeito a ambas
formas volumes Busemann-Hausdorff e Holmes-Thompson, então a menos de uma
translação paralela de R3; M é parte de um plano ou parte de um helicóide, a qual é gerada
pela rotação de uma reta (perpendicular ao eixo x3) ao longo do eixo x3: Ademais podemos
obter explicitamente hipersuperfícies de rotação BH-mínima e HT-mínima geradas
por uma curva plana em torno do eixo na direção de eb] num espaço (a; b) de Minkowski
(Vn+1; eFb); onde Vn+1 é um espaço vetorial de dimensão (n+1); eFb = eaf eb
ea ; ea é a
métrica Euclidiana, eb é uma 1-forma constante com norma b := kebkea; eb] é o vetor dual
de eb com respeito a a: Como aplicação, se dá uma expressão explícita de superfície de
rotação completa “forward” BH-mínima gerada pela rotação em torno do eixo na direção
de eb] num espaço de Minkowski do tipo Randers (V3; ea+eb):
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.bc.ufg.br:tde/2885 |
| Date | 16 April 2012 |
| Creators | Chavéz, Newton Mayer Solorzano |
| Contributors | Souza, Marcelo Almeida de |
| Publisher | Universidade Federal de Goiás, Programa de Pós-graduação em Matemática (IME), UFG, Brasil, Instituto de Matemática e Estatística - IME (RG) |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFG, instname:Universidade Federal de Goiás, instacron:UFG |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 6600717948137941247, 600, 600, 600, -4268777512335152015, -7090823417984401694, [1] Bao, D.; Chern, S.S., Shen,Z., An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, Graduate Texts in Mathematics 200, Springer-Verlag, New York, Inc., (2000). [2] Cherg, X., Shen, Z, A Class of Finsler Metrics with Isotropic S-Curvature, Israel J. Math. 169, 317-340 (2009). [3] Cui, N., Shen, Y.B., Bernstein Type Theorems for Minimal Surfaces in (a;b)-space Public Math. Debrecen 74, 383-400 (2009). [4] Cui, N., Shen, Y.B., Minimal Rotational Hypersurfaces in Minkowski (a;b)-space, Geom Dedicata. (2010) [5] do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, (1976). [6] do Carmo, M. P., Formas Diferenciáveis e Aplicações, Monografias de Matemática n 37, 8vo. Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, (1983). [7] do Carmo, M.P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1988, 2 edição. [8] do Carmo, M.P., O Método do Referencial Móvel, Escola Latino-Americana de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, (1976). [9] D.Bao, C.Robles and Z.Shen, Zermelo Navigation on Riemannian Manifolds, J. Diferential Geom. 66 (2004), no. 3, 377-435. [10] He, Q., Shen, Y.B., On Bernstein type theorems in Finsler geometry with volume form induced from sphere bundle, proc. Amer. Math. Soc. 134, 871-880 (2006). [11] He, Q., Shen, Y.B., On the Mean Curvature of Finsler Submanifolds, Chinese J. Contemp. 27A, 663-674 (2006). [12] Lima, E. L., Álgebra Linear, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 2000, 4 edição. [13] Lima, E. L., Análise no Espaço Rn, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, (2007). [14] Shen, Z.; Chern, S.S.; Riemann Finsler Geometry, World Scientific, Nankai Tracts in Mathematics, Volume 6. [15] Shen, Z., Lectures on Finsler Geometry, World Sci., Singapore (2001). [16] Shen, Z., On Finsler geometry of submanifolds., Math. Ann. 131 549-576 (1998). [17] Souza, M., Spruck, J., Tenenblat, K.,A Bernstein type theorem on a Randers space, Math. Ann. 329, 291-305 (2004). [18] Souza, M., Tenenblat, K., Minimal Surfaces of Rotation in Finsler Space with a Randers Metric, Math. Ann. 325, 625-642 (2003). [19] S.S. Chern, Z. Shen, Riemann-Finsler Geometry, Nankai Tracts in Mathematics, vol. 6, World Scientific (2005). [20] Tenenblat, K., Introdução à Geometria Diferencial, Editora da Unb, Brasília, (1998). [21] Wu, B.Y., On the Folume Forms and Submanifolds in Finsler Geometry. Chinese. J. Contemp. Math. 27, 61-72 (2006). [22] Wu, B.Y., A Local Rigidity Theorem for Minimal Surfaces in Minkowski 3-space of Randers type., Ann. Glob. Anal. Geom. 31, 375-384 (2007). |
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