Nous considérons le problème d’un électron sur des pavages quasipériodiques en une et deux dimensions. Nous introduisons tout d’abord les pavages quasipériodiques d’un point de vue géométrique, et défendons en particulier l’idée que ces pavages sont les pavages apériodiques les plus proches de la périodicité. Nous concentrant plus particulièrement sur l’un des pavages quasipériodiques les plus simples, la chaîne de Fibonacci, nous montrons à l’aide d’un groupe de renormalisation que la multifractalité des états électroniques découle directement de l’invariance d’échelle de la chaîne. Élargissant ensuite notre champ d’étude à un ensemble de chaînes quasipériodiques, nous nous intéressons au théorème de label des gaps, qui décrit comment la géométrie d’une chaîne donnée contraint les valeurs que peut prendre la densité d’états intégrée dans les gaps du spectre électronique. Plus précisément, nous nous intéressons à la façon dont l’énoncé de ce théorème est modifié lorsque l’on considère une séquence d’approximants périodiques approchant une chaîne quasipériodique. Enfin, nous montrons comment des champs de hauteurs géométriques peuvent être utilisés pour construire des états électroniques exacts sur des pavages en une et deux dimensions. Ces états sont robustes aux perturbations du hamiltonien, sous réserve que ces dernières respectent les symétries du pavage sous-jacent. Nous relions les dimensions fractales de ces états à la distribution de probabilités des hauteurs, que nous calculons de façon exacte. Dans le cas des chaînes quasipériodiques, nous montrons que la conductivité suit une loi d’échelle de la taille de l’échantillon, dont l’exposant est relié à cette même distribution de probabilités. / We consider the problem of a single electron on one and two-dimensional quasiperiodic tilings. We first introduce quasiperiodic tilings from a geometrical point of view, and point out that among aperiodic tilings, they are the closest to being periodic. Focusing on one of the simplest one-dimensional quasiperiodic tilings, the Fibonacci chain, we show, with the help of a renormalization group analysis, that the multifractality of the electronic states is a direct consequence of the scale invariance of the chain. Considering now a broader class of quasiperiodic chains, we study the gap labeling theorem, which relates the geometry of a given chain to the set of values the integrated density of states can take in the gaps of the electronic spectrum. More precisely, we study how this theorem is modified when considering a sequence of approximant chains approaching a quasiperiodic one. Finally, we show how geometrical height fields can be used to construct exact eigenstates on one and two-dimensional quasiperiodic tilings. These states are robust to perturbations of the Hamiltonian, provided that they respect the symmetries of the underlying tiling. These states are critical, and we relate their fractal dimensions to the probability distribution of the height field, which we compute exactly. In the case of quasiperiodic chains, we show that the conductivity follows a scaling law, with an exponent given by the same probability distribution.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2017SACLS313 |
| Date | 28 September 2017 |
| Creators | Macé, Nicolas |
| Contributors | Université Paris-Saclay (ComUE), Jagannathan, Anuradha |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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