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Previous issue date: 2015-09-22 / Anp / Sob certas hipóteses simplificadoras, o modelo matemático que descreve o escoamento
de água e óleo em reservatórios de petróleo pode ser representado por um sistema não linear
de Equações Diferenciais Parciais composto por uma equação elíptica de pressão (fluxo) e
uma equação hiperbólica de saturação (transporte). Devido a complexidades na modelagem
de ambientes deposicionais, nos quais são incluídos camadas inclinadas, canais, falhas e poços
inclinados, há uma dificuldade de se construir um modelo que represente adequadamente
certas características dos reservatórios, especialmente quando malhas estruturadas são usadas
(cartesianas ou corner point). Além disso, a modelagem do escoamento multifásico nessas
estruturas geológicas incluem descontinuidades na variável e instabilidades no escoamento,
associadas à elevadas razões de mobilidade e efeitos de orientação de malha. Isso representa
um grande desafio do ponto de vista numérico. No presente trabalho, uma formulação fundamentada
no Método de Volumes Finitos é estudada e proposta para discretizar as equações
elíptica de pressão e hiperbólica de saturação. Para resolver a equação de pressão três formulações
robustas, com aproximação dos fluxos por múltiplos pontos são estudadas. Essas formulações
são abeis para lidar com tensores de permeabilidade completos e malhas poligonais
arbitrárias, sendo portanto uma generalização de métodos mais tradicionais com aproximação
do fluxo por apenas dois pontos. A discretização da equação de saturação é feita com duas
abordagens com característica multidimensional. Em uma abordagem mais convencional, os
fluxos numéricos são extrapolados diretamente nas superfícies de controle por uma aproximação
de alta resolução no espaço (2ª a 4ª ordem) usando uma estratégia do tipo MUSCL. Uma
estratégia baseada na Técnica de Mínimos Quadrados é usada para a reconstrução polinomial.
Em uma segunda abordagem, uma variação de uma esquema numérico Verdadeiramente Multidimensional
é proposto. Esse esquema diminui o efeito de orientação de malha, especialmente
para malhas ortogonais, mesmo embora alguma falta de robustez possa ser observada
pra malhas excessivamente distorcidas. Nesse tipo de formulação, os fluxos numéricos são
calculados de uma forma multidimensional. Consiste em uma combinação convexa de valores
de saturação ou fluxo fracionário, seguindo a orientação do escoamento através do domínio
computacional. No entanto, a maioria dos esquemas numéricos achados na literatura tem
aproximação apenas de primeira ordem no espaço e requer uma solução implícita de sistemas
algébricos locais. Adicionalmente, no presente texto, uma forma modificada desses esquemas
“Verdadeiramente” Multidimensionais é proposta em um contexto centrado na célula. Nesse
caso, os fluxos numéricos multidimensionais são calculados explicitamente usando aproximações
de alta ordem no espaço. Para o esquema proposto, a robustez e o caráter multidimensional
também leva em conta a distorção da malha por meio de uma ponderação adaptativa. Essa
ponderação regula a característica multidimensional da formulação de acordo com a distorção
da malha. Claramente, os efeitos de orientação de malha são reduzidos. A supressão de oscilações
espúrias, típicas de aproximações de alta ordem, são obtidas usando, pela primeira vez
no contexto de simulação de reservatórios, uma estratégia de limitação multidimensional ou
Multidimensional Limiting Process (MLP). Essa estratégia garante soluções monótonas e podem
ser usadas em qualquer malha poligonal, sendo naturalmente aplicada em aproximações
de ordem arbitrária. Por fim, de modo a garantir soluções convergentes, mesmo para problemas
tipicamente não convexos, associados ao modelo de Buckley-Leverett, uma estratégia
robusta de correção de entropia é empregada. O desempenho dessas formulações é verificado
com a solução de problemas relevantes achados na literatura. / Under certain simplifying assumptions, the problem that describes the fluid flow of oil
and water in heterogeneous and anisotropic petroleum reservoir can be described by a system
of non-linear partial differential equations that comprises an elliptic pressure equation (flow)
and a hyperbolic saturation equation (transport). Due to the modeling of complex depositional
environments, including inclined laminated layers, channels, fractures, faults and the geometrical
modeling of deviated wells, it is difficult to properly build and handle the Reservoir
Characterization Process (RCM), particularly by using structured meshes (cartesian or corner
point), which is the current standard in petroleum reservoir simulators. Besides, the multiphase
flow in such geological structures includes the proper modeling of water saturation
shocks and flow instabilities associated to high mobility ratios and Grid Orientation Effects
(GOE), posing a great challenge from a numerical point of view. In this work, a Full Finite
Volume Formulation is studied and proposed to discretize both, the elliptic pressure and the
hyperbolic saturation equations. To solve the pressure equation, we study and use three robust
Multipoint Flux Approximation Methods (MPFA) that are able to deal with full permeability
tensors and arbitrary polygonal meshes, making it relatively easy to handle complex geological
structures, inclined wells and mesh adaptivity in a natural way. To discretize the saturation
equation, two different multidimensional approaches are employed. In a more conventional
approach, the numerical fluxes are extrapolated directly on the control surfaces for a higher
resolution approximation in space (2nd to 4th order) by a MUSCL (Monotone Upstream Centered
Scheme for Conservation Laws) procedure. A least squares based strategy is employed
for the polynomial reconstruction. In a second approach, a variation of a “Truly” Multidimensional
Finite Volume method is proposed. This scheme diminishes GOE, especially for orthogonal
grids, even though some lack of robustness can be observed for extremely distorted
meshes. In this type of scheme, the numerical flux is computed in each control surface in a
multidimensional way, by a convex combination of the saturation or the fractional flow values,
following the approximate wave orientation throughout the computational domain. However,
the majority of the schemes found in literature is only first order accurate in space and
demand the implicit solution of local conservation problems. In the present text, a Modified
Truly Multidimensional Finite Volume Method (MTM-FVM) is proposed in a cell centered
context. The truly multidimensional numerical fluxes are explicitly computed using higher
order accuracy in space. For the proposed scheme, the robustness and the multidimensional
character of the aforementioned MTM-FVM explicitly takes into account the angular distortion
of the computational mesh by means of an adaptive weight, that tunes the multidimensional
character of the formulation according to the grid distortion, clearly diminishing GOE.
The suppression of the spurious oscillations, typical from higher order schemes, is achieved
by using for the first time in the context of reservoir simulation a Multidimensional Limiting
Process (MLP). The MLP strategy formally guarantees monotone solutions and can be used
with any polygonal mesh and arbitrary orders of approximation. Finally, in order to guarantee
physically meaningful solutions, a robust “entropy fix” strategy is employed. This produces
convergent solutions even for the typical non-convex flux functions that are associated to the
Buckley-Leverett problem. The performance of the proposed full finite volume formulation is
verified by solving some relevant benchmark problems.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufpe.br:123456789/17248 |
| Date | 22 September 2015 |
| Creators | SOUZA, Márcio Rodrigo de Araújo |
| Contributors | http://lattes.cnpq.br/6568615406054840, LYRA, Paulo Roberto Maciel |
| Publisher | Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pos Graduacao em Engenharia Civil, UFPE, Brasil |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Breton |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFPE, instname:Universidade Federal de Pernambuco, instacron:UFPE |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazil, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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