O objetivo desta tese é estudar a geometria diferencial plana local de uma hipersuperfície regular M em R4, usando a teoria de singularidades. Esta geometria é obtida através do estudo do contato de M com retas, planos e hiperplanos. O contato com hiperplanos (respectivamente, retas e planos) é medido através das singularidades dos elementos da família de funções altura H : M x S3 → R (respectivamente, família de projeções P M x S3 → R3 e II : M x G(2,4) → R2), onde S3 é a esfera unitária em R4, e G(2,4) é a Grassmaniana de 2-planos em R4. Escrevendo M localmente na forma de Monge w = f(x,y,z) obtemos as condições sobre os coeficientes da expansão de Taylor de f para identificar as singularidades genéricas de Hu , Pu e nu. Estudamos as estruturas dos conjuntos em M de um dado tipo de singularidade, usando a aplicação Monge-Taylor e os teoremas de transversalidade de Thom. Além disso, mostramos que existe uma relação de dualidade entre certos estratos dos conjuntos de bifurcações de H e P, e deduzimos propriedades geométricas sobre estes conjuntos. Estudamos também o comportamento de P em um ponto umbílico plano parcial. A família II é de 4 parâmetros, portanto as singularidades genéricas que ocorrem são aquelas de codimensão ≤ 4. Precisamos então completar a tabela de singularidades dos germes R3, O → R2, O em [45]. Fizemos isso usando o programa \"Transversal\" feito por Neil Kirk [26]. Obtemos critérios geométricos para reconhecer as singularidades de codimensão ≤ 1 e para estabelecer quando II é um desdobramento versal de IIu. / We initiate in this thesis the study of the local flat geometry of smooth hypersurfaces M in R4 using singularity theory. This geometry is obtained by studying the contact of M with lines, planes and hyperplanes. The contact with hyperplanes (respectively, lines and planes) is measured by the singularities of the elements of the family of height functions H: M x S3 → R (respectively, projections to hyperplanes P : M x S3 → R3, and projections to planes II: M x G(2,4) → R2), where S3 is the unit sphere in R4, and G(2,4) is the Grassmanian of 2-planes in R4. We write locally M in Monge form w = f(x, y, z) and obtain the conditions on the coefflcients of the Taylor expansion of f for identifying the generic singularities of Hu, Pu and IIu. We study the local structures of the set of points in M of a given singularity type using the Monge-Taylor map and Thom\'s transversality theorems. We also show that there is a duality relation between some strata of the bifurcation sets of H and P, and deduce geometric properties about these sets. We study in more details the behaviour of P at a partial flat umbilic point. The family II is of 4 parameters, so the generic singularities that occur in IIu are of codimension ≤ 4. Therefore we need to complete the list of singularities of germs R2, O → R2, O given in [45]. We do this using \"Transversal\", a program elaborated by Neil Kirk [26]. We also obtain geometric criteria for recognizing the codimension ≤ 1 singularities of IIu and for establishing when II is a versal unfolding of IIu.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-12042016-101148 |
| Date | 17 July 2000 |
| Creators | Nabarro, Ana Claudia |
| Contributors | Tari, Farid |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | Tese de Doutorado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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