Les nombres de Tamagawa des courbes elliptiques apparaissent dans la formulation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer comme certains facteurs locaux. Bloch et Kato (1990) ont trouvé une vaste généralisation de cette définition classique en termes de la théorie de Hodge p-adique. Ils ont associé un nombre de Tamagawa Tam(T) à tout réseau T de représentations p-adiques de de Rham au sens de J.-M. Fontaine. Ces nombres interviennent dans les conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L des motifs.J.-M. Fontaine et B.Perrin-Riou ont formulé une conjecture reliant Tam(T) et le nombre de Tamagawa Tam(T*}(1)) de la représentation duale. Cette conjecture est connue pour les représentations cristallines ce qui permet de calculer explicitement les nombres de Tamagawa des représentations cristallines dont les poids de Hodge-Tate sont tous positifs. En revanche, dans la plupart des autres cas, nous n'avons pas de méthode de calcul explicite. Cette thèse a pour but de donner un encadrement des nombres de Tamagawa des représentations absolument cristallines le long de la tour cyclotomique sans hypothèses supplémentaires sur les poids de Hodge-Tate. Le premier chapitre de cette thèse est dédié à des rappels sur la théorie de Hodge p-adique, la classification de Fontaine des représentations p-adique de corps locaux via la théorie des (phi, Gamma)-modules, sur la cohomologie galoisienne, sur les modules de Wach ou sur la cohomologie d'Iwasawa. Le second chapitre est dédié à l'exponentielle de Bloch and Kato. Seront rappelées sa définition et sa construction de l'exponentielle de Bloch and Kato en termes de (phi, Gamma)-modules faite par D.Benois. Cette dernière construction permet de généraliser deux résultats de D.Benois et L.Berger qui relient l'exponentielle aux modules de Wach et qui permet de décrire des objets qui apparaissent naturellement dans l'étude des nombres de Tamagawa. Le dernier chapitre est le cœur de cette thèse. Nous commencerons en définissant les nombres de Tamagawa Tam(T) et en donnant certaines propriétés et résultats déjà connus. Nous énonçons ensuite le théorème final qui donne un encadrement des nombres de Tamagawa d'une représentation absolument cristalline V. Y sont également donnés certains cas d'égalité qui permettent de retrouver des formules connues --- lorsque V est positive ou lorsqu'elle provient d'une courbe elliptique et plus généralement d'un groupe formel de dimension 1 et de hauteur 2. Pour prouver ces résultats, nous écrivons les nombres de Tamagawa sous forme d'un indice généralisé dans lequel apparaissent les objets étudiés dans le chapitre précédent. La thèse se termine avec l'étude de plusieurs cas particuliers qui permettent de retrouver des résultats déjà connus. / Tamagawa numbers of elliptic curves appear in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture as local factors. Bloch and Kato generalized the definition using p-adic Hodge theory in 1990. Indeed they associated a number Tam(T) to each lattice T of de Rham representation in the sense of J-M\,Fontaine. This Tamagawa numbers are used in the conjectures of Bloch and Kato on the special values of L-functions of motives.J-M\,Fontaine and B.\,Perrin-Riou expressed a conjecture linking Tam(T) to the Tamagawa number Tam(T*(1)) of the dual representation. This conjecture is now well known for crystalline representations. This yields an explicit formula for Tamagawa number of crystalline p-adic representations having positive Hodge-Tate weights.On the other hand, we have no explicit formula for Tamagawa numbers of most of the crystalline representations. The purpose of the thesis is to give bounds of Tamagawa numbers of crystalline p-adic representations of unramified local field along the cyclotomic tower without further conditions on the Hodge-Tate weights.The first chapter of this thesis is dedicated to reminders on p-adic Hodge-Tate theory, Fontaine's classification of p-adic representations of local fields via (phi, Gamma)-modules, Galois and Iwasawa cohomology, Wach modules etc.The second chapter is dedicated to the Bloch and Kato's exponential map. We will recall its definition and its construction in terms of (phi, Gamma)-modules due to D.Benois. This construction will lead to the generalization of two results of D.\,Benois and L.\,Berger which link the exponential map and Wach modules and give a good description of the objects which naturally appear in the study of Tamagawa numbers.The last chapter is the heart of the thesis. We will begin by giving a definition of Tamagawa number Tam(T) and some first properties and results on theses numbers.We will next express the main theorems which give bounds of Tamagawa numbers of crystalline p-adic representations of unramified local field along the cyclotomic tower. We will also give equality conditions. This allows us to recover already known results such as Tamagawa numbers of positive crystalline representations or of representations coming from elliptic curves.To prove these results, we will write Tamagawa numbers as a generalized index of the modules defined in terms of Wach modules. Theses modules have been deeply studied in the second chapter of this thesis.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2013BOR14809 |
| Date | 28 June 2013 |
| Creators | Laurent, Arthur |
| Contributors | Bordeaux 1, Benois, Denis |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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