This thesis project studies robust portfolio optimization with Expected Short-fall applied to a reference portfolio consisting of Swedish linear assets with stocks and a bond index. Specifically, the classical robust optimization definition, focusing on uncertainties in parameters, is extended to also include uncertainties in log-return distribution. My contribution to the robust optimization community is to study portfolio optimization with Expected Shortfall with log-returns modeled by either elliptical distributions or by a normal copula with asymmetric marginal distributions. The robust optimization problem is solved with worst-case parameters from box and ellipsoidal un-certainty sets constructed from historical data and may be used when an investor has a more conservative view on the market than history suggests. With elliptically distributed log-returns, the optimization problem is equivalent to Markowitz mean-variance optimization, connected through the risk aversion coefficient. The results show that the optimal holding vector is almost independent of elliptical distribution used to model log-returns, while Expected Shortfall is strongly dependent on elliptical distribution with higher Expected Shortfall as a result of fatter distribution tails. To model the tails of the log-returns asymmetrically, generalized Pareto distributions are used together with a normal copula to capture multivariate dependence. In this case, the optimization problem is not equivalent to Markowitz mean-variance optimization and the advantages of using Expected Shortfall as risk measure are utilized. With the asymmetric log-return model there is a noticeable difference in optimal holding vector compared to the elliptical distributed model. Furthermore the Expected Shortfall in-creases, which follows from better modeled distribution tails. The general conclusions in this thesis project is that portfolio optimization with Expected Shortfall is an important problem being advantageous over Markowitz mean-variance optimization problem when log-returns are modeled with asymmetric distributions. The major drawback of portfolio optimization with Expected Shortfall is that it is a simulation based optimization problem introducing statistical uncertainty, and if the log-returns are drawn from a copula the simulation process involves more steps which potentially can make the program slower than drawing from an elliptical distribution. Thus, portfolio optimization with Expected Shortfall is appropriate to employ when trades are made on daily basis. / Examensarbetet behandlar robust portföljoptimering med Expected Shortfall tillämpad på en referensportfölj bestående av svenska linjära tillgångar med aktier och ett obligationsindex. Specifikt så utvidgas den klassiska definitionen av robust optimering som fokuserar på parameterosäkerhet till att även inkludera osäkerhet i log-avkastningsfördelning. Mitt bidrag till den robusta optimeringslitteraturen är att studera portföljoptimering med Expected Shortfall med log-avkastningar modellerade med antingen elliptiska fördelningar eller med en norma-copul med asymmetriska marginalfördelningar. Det robusta optimeringsproblemet löses med värsta tänkbara scenario parametrar från box och ellipsoid osäkerhetsset konstruerade från historiska data och kan användas när investeraren har en mer konservativ syn på marknaden än vad den historiska datan föreslår. Med elliptiskt fördelade log-avkastningar är optimeringsproblemet ekvivalent med Markowitz väntevärde-varians optimering, kopplade med riskaversionskoefficienten. Resultaten visar att den optimala viktvektorn är nästan oberoende av vilken elliptisk fördelning som används för att modellera log-avkastningar, medan Expected Shortfall är starkt beroende av elliptisk fördelning med högre Expected Shortfall som resultat av fetare fördelningssvansar. För att modellera svansarna till log-avkastningsfördelningen asymmetriskt används generaliserade Paretofördelningar tillsammans med en normal-copula för att fånga det multivariata beroendet. I det här fallet är optimeringsproblemet inte ekvivalent till Markowitz väntevärde-varians optimering och fördelarna med att använda Expected Shortfall som riskmått används. Med asymmetrisk log-avkastningsmodell uppstår märkbara skillnader i optimala viktvektorn jämfört med elliptiska fördelningsmodeller. Därutöver ökar Expected Shortfall, vilket följer av bättre modellerade fördelningssvansar. De generella slutsatserna i examensarbetet är att portföljoptimering med Expected Shortfall är ett viktigt problem som är fördelaktigt över Markowitz väntevärde-varians optimering när log-avkastningar är modellerade med asymmetriska fördelningar. Den största nackdelen med portföljoptimering med Expected Shortfall är att det är ett simuleringsbaserat optimeringsproblem som introducerar statistisk osäkerhet, och om log-avkastningar dras från en copula så involverar simuleringsprocessen flera steg som potentiellt kan göra programmet långsammare än att dra från en elliptisk fördelning. Därför är portföljoptimering med Expected Shortfall lämpligt att använda när handel sker på daglig basis.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-187888 |
| Date | January 2016 |
| Creators | Isaksson, Daniel |
| Publisher | KTH, Matematisk statistik |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-MAT-E ; 2016:21 |
Page generated in 0.0018 seconds