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Princípio de reconhecimento de espaços de laços relativos / Recognition principle of relative loop spaces

O princípio de reconhecimento de espaços de $\\infty$-laços é que o funtor $\\Omega^\\infty:\\textttightarrow \\mathcal E^\\infty[\\texttt]$ dado por $\\Omega^\\infty Y_\\bullet=\\text_{\\bullet\\shortrightarrow\\infty}\\Omega^\\bullet Y_\\bullet$ induz uma equivalência entre a categoria homotópica de espectros conectivos e a categoria homotópica de $\\mathcal E^\\infty$-álgebras grouplike para qualquer resolução cofibrante $\\mathcal E^\\infty$ do operad $\\mathcal Com$ de monóides comutativos. Nesta tese é provado um princípio de reconhecimento de 2-espaços de $N$-laços para $2<N\\leq\\infty$. Quando $N=\\infty$ esse princípio afirma o seguinte: Um espectro relativo é um par de espectros $B_\\bullet$ e $Y_\\bullet$ equipados com uma sequências de aplicações pontuadas $\\iota_\\bullet:B_\\bulletightarrow Y_{\\bullet+1}$ compatíveis com as estruturas de espectros. Um espectro relativo é conectivo se o par de espectros subjacentes forem conectivos. Denotamos a categoria de espectros relativos por $\\texttt^ earrow$ e de espectros relativos conectivos por $\\texttt^ earrow_0$. Um $2E_\\infty$-operad é uma resolução cofibrante $\\mathcal E_2^\\infty$ do 2-operad $\\mathcal Com^\\shortrightarrow$ de homomorfismos de monóides comutativos. Uma $\\mathcal E^\\infty_2$-álgebra $(X_c,X_o)$ é grouplike se $X_c$ e $X_o$ forem grouplike. Denotamos a categoria de $\\mathcal E^\\infty_2$-álgebras por $\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]$ e a categoria de $\\mathcal E^\\infty_2$-álgebras grouplike por $\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]_$. O 2-espaço de $\\infty$-laços de um espectro relativo é o par de espaços $\\Omega^\\infty_2\\iota_\\bullet:=\\text_{\\bullet\\shortrightarrow\\infty}(\\Omega^\\bullet Y_\\bullet,\\Omega^{\\bullet}_{\\text} \\iota_\\bullet)$. Temos que as imagens do funtor $\\Omega^\\infty_2$ admitem uma estrutura natural de $\\mathcal E^\\infty_2$-álgebra, logo $\\Omega^\\infty_2$ define um funtor $\\texttt^ earrowightarrow \\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]$. Existe um funtor $B^\\infty_2:\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]ightarrow \\texttt^ earrow$ e uma adjunção $(\\mathbb L B^\\infty_2\\dashv\\mathbb R\\Omega^\\infty_2)$ entre as categorias homotópicas $\\mathcal Ho\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]$ e $\\mathcal Ho\\texttt^ earrow$ que induzem uma equivalência entre as categorias homotópicas $\\mathcal Ho\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]_$ e $\\mathcal Ho\\texttt^ earrow_0$. / The recognition principle of $\\infty$-loop spaces is that the functor $\\Omega^\\infty:\\textttightarrow \\mathcal E^\\infty[\\texttt]$ defined by $\\Omega^\\infty Y_\\bullet=\\text_{\\bullet\\shortrightarrow\\infty}\\Omega^\\bullet Y_\\bullet$ induces an equivalence between the homotopy category of connective spectra and the homotopy category of grouplike $\\mathcal E^\\infty$-algebras for any cofibrant resolution $\\mathcal E^\\infty$ of the commutative monoid operad $\\mathcal Com$. In this thesis a relative recognition principle of $N$-loop 2-spaces is proved for $2<N\\leq\\infty$. For $N=\\infty$ this principle states the following: A relative spectrum is a pair of spectra $B_\\bullet$ and $Y_\\bullet$ equipped with a sequence of pointed maps $\\iota_\\bullet:B_\\bulletightarrow Y_{\\bullet+1}$ compatible with the spectrum structures. A relative spectrum is connective if the underlying pair of spectra are connective. The category of relative spectra is denoted by $\\texttt^ earrow$ and the category of connective relative spectra by $\\texttt^ earrow_0$. A $2E_\\infty$-operad is a cofibrant resolution $\\mathcal E_2^\\infty$ of the commutative monoid homomorphism 2-operad $\\mathcal Com^\\shortrightarrow$. An $\\mathcal E^\\infty_2$-algebra $(X_c,X_o)$ is grouplike if $X_c$ and $X_o$ are grouplike. The category of $\\mathcal E^\\infty_2$-algebras is denoted by $\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]$ and the category of grouplike $\\mathcal E^\\infty_2$-algebras by $\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]_$. The $\\infty$-loop 2-space of a relative spectrum is the pair of pointed spaces $\\Omega^\\infty_2\\iota_\\bullet:=\\text_{\\bullet\\shortrightarrow\\infty}(\\Omega^\\bullet Y_\\bullet,\\Omega_{\\text}^{\\bullet} \\iota_\\bullet)$. The images of the functor $\\Omega^\\infty_2$ admit an $\\mathcal E^\\infty_2$-algebra structure, therefore $\\Omega^\\infty_2$ defines a functor $\\texttt^ earrowightarrow \\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]$. The infinite relative recognition principle is that there is a functor $B^\\infty_2:\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]ightarrow \\texttt^ earrow$ and a derived adjunction $(\\mathbb L B^\\infty_2\\dashv\\mathbb R\\Omega^\\infty_2)$ between the homotopy categories $\\mathcal Ho\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]$ and $\\mathcal Ho\\texttt^ earrow$ that induce an equivalence beteween the homotopy categories $\\mathcal Ho\\mathcal E^\\infty_2[\\texttt]_$ and $\\mathcal Ho\\texttt^ earrow_0$.

Identiferoai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-18032019-195116
Date15 June 2018
CreatorsRenato Vasconcellos Vieira
ContributorsDaciberg Lima Goncalves, Eduardo Outeiral Correa Hoefel, Tomas Edson Barros, Eduardo Outeiral Correa Hoefel, Marcos Benevenuto Jardim, Oziride Manzoli Neto
PublisherUniversidade de São Paulo, Matemática, USP, BR
Source SetsIBICT Brazilian ETDs
LanguagePortuguese
Detected LanguageEnglish
Typeinfo:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis
Sourcereponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP
Rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess

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