On étudie dans cette thèse l'équation de Szegö sur la droite réelle ainsi que ses perturbations. Cette équation a été introduite il y a quelques années par Gérard et Grellier comme modèle mathématique d'une équation non linéaire totalement non dispersive.L'équation de Szegöapparait naturellement dans l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire (NLS) danscertaines situations sur-critiques où l'on constate un manque de dispersion, par exemplelorsque l'on considère NLS sur le groupe de Heisenberg. Par conséquent, une des motivationsde cette thèse est d'établir des résultats concernant l'équation de Szegö qui pourrontéventuellement être utilisés dans le contexte de l'équation de Schrödinger non linéaire.Le premier résultat de cette thèse est la classification des solitons de l'équation de Szegö.On montre que ce sont tous des fonctions rationnelles ayant un unique pôle qui est simple.De plus, on prouve que les solitons sont orbitalement stables.La propriété la plus remarquable de l'équation de Szegö est le fait qu'elle est complètement intégrable, ce qui permet notamment d'établir une formule explicite de sa solution.Comme applications de cette formule, on obtient les trois résultats suivants. (A) On montreque les solutions fonctions rationnelles génériques se décomposent en une somme de solitonset d'un reste qui est petit lorsque le temps tend vers l'infini. (B) On met en évidence unexemple de solution non générique dont les grandes normes de Sobolev tendent vers l'infiniavec le temps. (C) On détermine des coordonnées action-angle généralisées lorsque l'on restreintl'équation de Szegö à une sous-variété de dimension finie. En particulier, on en déduitqu'une grande partie des trajectoires de cette équation sont des spirales autour de cylindrestoroïdaux.Comme l'équation de Szegö est complètement intégrable, il est ensuite naturel d'étudierses perturbations et d'établir de nouvelles propriétés pour celles-ci à partir des résultatsconnus pour l'équation de Szegö. Une des perturbations de l'équation de Szegö est une équation desondes non linéaire (NLW) de donnée bien préparée.On prouve que si la donnée initiale de NLW est petite et à support dans l'ensemble desfréquences positives, la solution de NLW est alors approximée pour un temps long par lasolution de l'équation de Szegö. Autrement dit, on démontre ainsi que l'équation de Szegöest la première approximation de NLW. On construit ensuite une solution de NLW dont lesgrandes normes de Sobolev augmentent (relativement à la norme de la donnée initiale).Sur le tore T, Gérard et Grellier ont démontré un résultat analogue d'approximation deNLW. On améliore ce résultat en trouvant une approximation plus fine, de deuxième ordre.Dans une dernière partie, on s'intéresse à l'équation de Szegö perturbée par un potentielmultiplicatif petit. On étudie l'interaction de ce potentiel avec les solitons. Plus précisément,on montre que, si la donnée initiale est celle d'un soliton pour l'équation non perturbée, lasolution de l'équation perturbée garde la forme d'un soliton sur un long temps. De plus, ondéduit la dynamique effective, i.e. les équations différentielles satisfaites par les paramètresdu soliton.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00834518 |
| Date | 29 September 2011 |
| Creators | Pocovnicu, Oana |
| Publisher | Université Paris Sud - Paris XI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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