Memoria para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / El objetivo de esta tesis consiste principalmente en el estudio teórico de algunos resultados
de problemas inversos y de controlabilidad en ecuaciones hiperbólicas y parabólicas.
En el Capítulo 1 presentamos una breve introducción de los tópicos tratados en este
trabajo. Principalmente, centramos nuestra atención en las de niciones clásicas de controlabilidad
y problemas inversos. Posteriormente, indicamos cuáles son los resultados
generales obtenidos en esta tesis.
En el Capítulo 2, describimos los resultados de estabilidad obtenida para la reconstrucci
ón de potenciales en un sistema de ecuaciones hiperbólicas acopladas en cascada. Para
probar este resultado, nos inspiramos en el método de Bukhgeim-Klibanov combinado con
un tipo especial de desigualdades conocidas como estimaciones de Carleman. Estas dos
herramientas, junto con el hecho que las ecuaciones del sistema están acopladas en cascada,
nos permiten obtener un resultado de estabilidad Lipschitz para la recuperación de
todos los potenciales del sistema utilizando mediciones de algunas componentes accesibles
de él.
En el Capítulo 3, nos centramos en el estudio de la controlabilidad a cero de una
ecuación del calor con condiciones de borde dinámicas. Este problema se puede ver como
una ecuación del calor acoplada con una ecuación diferencial ordinaria actuando en un
extremo del borde. Nuestros resultados apuntan en dos direcciones. En primer lugar,
probamos que este tipo de problemas se puede controlar a cero en una región que está
lejos de la interacción entre las dos dinámicas. Usando la dualidad entre observabilidad
y controlabilidad, la prueba de este resultado está basado en la construcción de una
estimación de Carleman adecuada. En segundo lugar, probamos que una modi cación
de este tipo de problemas puede ser visto como el problema límite de una familia de
problemas parabólicos con coe cientes de difusión discontinuos en donde la difusión es
muy alta en una parte del dominio. Adicionalmente, estudiamos el efecto que tiene el
control del problema límite en la sucesión de problemas aproximados.
Finalmente, en el Capítulo 4 desarrollamos una manera de obtener una estimación de
tipo Carleman para una ecuación del calor con coe cientes de difusión discontinuos. La
novedad en esta estrategia están basadas en las ideas del análisis microlocal desarrollado
por L. Robbiano y J. Le Rousseau et al. para ecuaciones parabólicas, con la ventaja de
que podemos obtener información de la constante de observabilidad. / Beca CMM, Beca Doctorado Nacional Conicyt 2015, CMM Conicyt PIA AFB170001 y Fondecyt 1151512-1191903
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/170914 |
| Date | January 2019 |
| Creators | Morales Ponce, Roberto Alejandro |
| Contributors | Osses Alvarado, Axel, Carreño Godoy, Nicolás, Cerpa Jeria, Eduardo, Ortega Palma, Jaime |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | English |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
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