La théorie classique de la valorisation des produits dérivés se repose sur l'absence de coûts de transaction et une liquidité infinie. Ces hypothèses sont toutefois ne plus véridiques dans le marché réel, en particulier quand la transaction est grande et les actifs non-liquides. Dans ce marché imparfait, on parle du prix de sur-réplication puisque la couverture parfaite est devenue parfois infaisable.La première partie de cette thèse se concentre sur la proposition d’un modèle qui intègre à la fois le coût de transaction et l’impact sur le prix du sous-jacent. Nous commençons par déduire la dynamique de l’actif en temps continu en tant que la limite de la dynamique en temps discret. Sous la contrainte d’une position nulle sur l’actif au début et à la maturité, nous obtenons une équation quasi-linéaire pour le prix du dérivé, au sens de viscosité. Nous offrons la stratégie de couverture parfaite lorsque l’équation admet une solution régulière. Quant à la couverture d’une option européenne “covered” sous la contrainte gamma, le principe de programme dynamique utilisé précédemment n'est plus valide. En suivant les techniques du cible stochastique et de l’équation différentielle partielle, nous démontrons que le prix de la sur-réplication est devenue une solution de viscosité d’une équation non linéaire de type parabolique. Nous construisons également la stratégie ε-optimale, et proposons un schéma numérique.La deuxième partie de cette thèse est consacrée aux études sur un nouveau schéma numérique d'EDSR, basé sur le processus de branchement. Nous rapprochons tout d’abord le générateur Lipschitzien par une suite de polynômes locaux, puis appliquons l’itération de Picard. Chaque itération de Picard peut être représentée en termes de processus de branchement. Nous démontrons la convergence de notre schéma sur l’horizon temporel infini. Un exemple concret est discuté à la fin dans l’objectif d’illustrer la performance de notre algorithme. / Classical derivatives pricing theory assumes frictionless market and infinite liquidity. These assumptions are however easily violated in real market, especially for large trades and illiquid assets. In this imperfect market, one has to consider the super-replication price as perfect hedging becomes infeasible sometimes.The first part of this dissertation focuses on proposing a model incorporating both liquidity cost and price impact. We start by deriving continuous time trading dynamics as the limit of discrete rebalancing policies. Under the constraint of holding zero underlying stock at the inception and the maturity, we obtain a quasi-linear pricing equation in the viscosity sense. A perfect hedging strategy is provided as soons as the equation admits a smooth solution. When it comes to hedging a covered European option under gamma constraint, the dynamic programming principle employed previously is no longer valid. Using stochastic target and partial differential equation smoothing techniques, we prove the super-replication price now becomes the viscosity solution of a fully non-linear parabolic equation. We also show how ε-optimal strategies can be constructed, and propose a numerical resolution scheme.The second part is dedicated to the numerical resolution of the Backward Stochastic Differential Equation (BSDE). We propose a purely forward numerical scheme, which first approximates an arbitrary Lipschitz driver by local polynomials and then applies the Picard iteration to converge to the original solution. Each Picard iteration can be represented in terms of branching diffusion systems, thus avoiding the usual estimation of conditional expectation. We also prove the convergence on an unlimited time horizon. Numerical simulation is also provided to illustrate the performance of the algorithm.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2017PSLED074 |
| Date | 09 October 2017 |
| Creators | Zou, Yiyi |
| Contributors | Paris Sciences et Lettres, Bouchard-Denize, Bruno |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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