Extreme-value theory is concerned with the tail behaviour of probability distributions. In recent years, it has found many applications in areas as diverse as hydrology, actuarial science, and finance, where complex phenomena must often be modelled from a small number of observations.Extreme-value theory can be used to assess the risk of rare events either through the block maxima or peaks-over-threshold method. The choice of threshold is both influential and delicate, as a balance between the bias and variance of the estimates is required. At present, this threshold is often chosen arbitrarily, either graphically or by setting it as some high quantile of the data.Bayesian inference is an alternative to deal with this problem by treating the threshold as a parameter in the model. In addition, a Bayesian approach allows for the incorporation of internal and external observations in combination with expert opinion, thereby providing a natural probabilistic framework to evaluate risk models.This thesis presents a Bayesian inference framework for extremes. We focus on a model proposed by Behrens et al. (2004), where an analysis of extremes is performed using a mixture model that combines a parametric form for the centre and a Generalized Pareto Distribution (GPD) for the tail of the distribution. Our approach accounts for all the information available in making inference about the unknown parameters from both distributions, the threshold included. A Bayesian analysis is then performed by using expert opinions to determine the parameters for prior distributions; posterior inference is carried out through Markov Chain Monte Carlo methods. We apply this methodology to operational risk data to analyze its performance.The contributions of this thesis can be outlined as follows:-Bayesian models have been barely explored in operational risk analysis. In Chapter 3, we show how these models can be adapted to operational risk analysis using fraud data collected by different banks between 2007 and 2010. By combining prior information to the data, we can estimate the minimum capital requirement and risk measures such as the Value-at-Risk (VaR) and the Expected Shortfall (ES) for each bank.-The use of expert opinion plays a fundamental role in operational risk modelling. However, most of time this issue is not addressed properly. In Chapter 4, we consider the context of the problem and show how to construct a prior distribution based on measures that experts are familiar with, including VaR and ES. The purpose is to facilitate prior elicitation and reproduce expert judgement faithfully.-In Section 4.3, we describe techniques for the combination of expert opinions. While this issue has been addressed in other fields, it is relatively recent in our context. We examine how different expert opinions may influence the posterior distribution and how to build a prior distribution in this case. Results are presented on simulated and real data.-In Chapter 5, we propose several new mixture models with Gamma and Generalized Pareto elements. Our models improve upon previous work by Behrens et al. (2004) since the loss distribution is either continuous at a fixed quantile or it has continuous first derivative at the blend point. We also consider the cases when the scaling is arbitrary and when the density is discontinuous.-Finally, we introduce two nonparametric models. The first one is based on the fact that the GPD model can be represented as a Gamma mixture of exponential distributions, while the second uses a Dirichlet process prior on the parameters of the GPD model. / La théorie des valeurs extrêmes concerne l'étude du comportement caudal de lois de probabilité. Ces dernières années, elle a trouvé de nombreuses applications dans des domaines aussi variés que l'hydrologie, l'actuariat et la finance, où l'on doit parfois modéliser des phénomènes complexes à partir d'un petit nombre d'observations.La théorie des valeurs extrêmes permet d'évaluer le risque d'événements rares par la méthode des maxima bloc par bloc ou celle des excès au-delà d'un seuil. Le choix du seuil est à la fois influent et délicat, vu la nécessité de trouver un équilibre entre le biais et la précision des estimations. À l'heure actuelle, ce seuil est souvent choisi arbitrairement, soit à partir d'un graphique ou d'un quantile élevé des données.L'inférence bayésienne permet de contourner cette difficulté en traitant le seuil comme un paramètre du modèle. L'approche bayésienne permet en outre d'incorporer des observations internes et externes en lien avec l'opinion d'experts, fournissant ainsi un cadre probabiliste naturel pour l'évaluation des modèles de risque.Cette thèse décrit un cadre d'inférence bayésien pour les extrêmes. Ce cadre est inspiré des travaux de Behrens et coll. (2004), dans lesquels l'étude des extrêmes est réalisée au moyen d'un modèle de mélange alliant une forme paramétrique pour le cœur de la distribution et une loi de Pareto généralisée (LPG) pour sa queue. L'approche proposée exploite toute l'information disponible pour le choix des paramètres des deux lois, y compris le seuil. Une analyse bayésienne tenant compte d'avis d'experts sur les paramètres des lois a priori est ensuite effectué; l'inférence a posteriori s'appuie sur une chaîne de Markov Monte-Carlo. Nous appliquons cette approche à des données relatives aux risqué opérationnels afin d'analyser sa performance.Les principales contributions de cette thèse sont les suivantes :-On fait rarement appel aux modèles bayésiens pour l'analyse du risque opérationnel. Au chapitre 3, nous montrons comment adapter ces modèles à l'analyse du risqué opérationnel au moyen de statistiques de fraudes recueillies par des banques entre 2007 et 2010. L'intégration d'information a priori aux données nous permet d'estimer le capital minimal requis pour chaque banque, ainsi que diverses mesures de risque telles que la valeur à-risque (VaR) et le déficit prévu (DP).-Les avis d'experts jouent un rôle clef dans la modélisation du risque opérationnel. Toutefois, cette question est souvent traitée de façon incorrecte. Au chapitre 4, nous examinons le problème dans son contexte et montrons comment choisir une loi a priori à partir de mesures que les experts connaissent bien, dont la VaR et le DP. Le but est de faciliter le choix de la loi a priori et de mieux refléter l'avis des experts.-À la section 4.3, nous décrivons diverses techniques de synthèse d'opinions d'experts. Bien que ce problème ait déjà été abordé dans d'autres domaines, il est relativement nouveau dans notre contexte. Nous montrons comment élaborer une loi a priori à partir d'avis d'experts et mesurons leur influence sur la loi a posteriori. Des données réelles et simulées sont utilisées aux fins d'illustration.-Au chapitre 5, nous proposons plusieurs nouveaux modèles faisant intervenir des mélanges de lois gamma et de Pareto généralisées. Ces modèles étendent les travaux de Behrens et coll. (2004) dans la mesure où la loi des pertes peut être continue à un quantile donné ou avoir une première dérivée continue au point de jonction. Nous traitons aussi les cas o ù l'échelle est arbitraire et la densité est discontinue.-Enfin, nous présentons deux modèles non paramétriques. Le premier s'appuie sur le fait que le modèle LPG peut être représenté comme un mélange gamma de lois exponentielles; dans le second, l'information a priori sur les paramètres du modèle LPG est représentée par un processus de Dirichlet.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.123216 |
| Date | January 2014 |
| Creators | Rivera Mancía, María Elena |
| Contributors | David Stephens (Supervisor1), Johanna Neslehova (Supervisor2) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically submitted theses |
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