This dissertation reports on two independent studies in the fields of deterministic and stochastic partial differential equations.In the first part, we introduce a novel spatio-temporal model of the bone remodelling process. Bone remodelling is crucial for the removal of fatigue damage and the renewal of old bone tissue in the vertebrate skeleton. Responsible for remodelling are the bone multicellular units (BMUs), complex entities consisting of several interacting cell types. We develop a nonlinear mixed PDE model capturing the dynamics of a single BMU in trabecular bone. Several pathological remodelling events are studied numerically, and new insights into the RANKL/RANK/OPG pathway are presented. Finally, the model is adapted to study the role of OPG in bone metastases. In silico experiments demonstrate that depending on the expression rate, tumour-derived OPG can increase or decrease osteolysis and tumour growth. In particular, this mechanism is able to explain a set of seemingly contradictory experimental studies. In the second part, we study the well-posedness of the two-dimensional Allen-Cahn equation with additive space-time white noise. We first introduce a high frequency cut-off in the noise field and then study the corresponding regularized problems in the limit where the cut-off goes to infinity. Based on numerical experiments and heuristic arguments, we conjecture that the approximations converge to the zero-distribution. A rigorous proof of the conjecture is provided. The result demonstrates that a series of published numerical studies are problematic: shrinking the mesh size in these simulations does not lead to the recovery of a physically meaningful limit. / Au sein de cette thèse nous présentons deux études indépendantes dans le contexte général des équations aux dérivées partielles (EDP), déterministes ainsi que stochastiques. Lors de la première partie nous développons un nouveau modèle spatio-temporel du processus de remodelage osseux. Le remodelage osseux est essentiel pour la réparation de fissures microscopiques ainsi que le renouvellement périodique du tissu osseux à travers le squelette vertébré. Le remodelage est effectué par les unités fonctionelles de remodelage (UFR): des entités complexes constituées de plusieurs types de cellules interagissantes. Nous développons un modèle mixte d'EDP nonlinéaires pour décrire l'évolution d'une UFR à travers le tissu trabéculaire. A l'aide de simulations numériques, nous étudions plusieurs régimes pathologiques de remodelage, et nous présentons de nouvelles perspectives concernant la voie biochimique RANKL/RANK/OPG. Enfin, le modèle est adapté pour étudier le rôle d'OPG dans les métastases osseuses. Les expériences numériques démontrent que, selon le taux d'expression, OPG exprimée par le tumeur peut soit augmenter soit diminuer l'ostéolyse et ainsi la croissance tumorale. En particulier, ce mécanisme est capable d'expliquer un ensemble d'études expérimentales apparemment contradictoires. Lors de la deuxième partie, nous investigons l'équation d'Allen-Cahn soujette à un bruit blanc additif, et cela en deux dimensions spatiales. Après avoir regularisé le bruit par une coupure à hautes fréquences, nous étudions la suite de problèmes regularisés ainsi obtenue. A l'aide d'expériences numériques et d'arguments heuristiques, nous faisons la conjécture que ces approximations convergent vers la distribution nulle dans la limite du bruit blanc. Une preuve rigoureuse de cette conjécture est fournie. Le résultat démontre que toute une série de travaux numériques publiés dans la litérature sont problématiques: en effet, lorsque la taille de la grille tend vers zéro, on obtient une limite sans signification physique.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.106324 |
| Date | January 2012 |
| Creators | Ryser, Marc |
| Contributors | Nilima Nigam (Supervisor1), Paul Frederick Tupper (Supervisor2), Svetlana Komarova (Supervisor3) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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