In this thesis the following model state dependent delay differential equation is considered,epsilon.u'(t) = mu.u(t) + sigma.u(t-a-c.u(t)).For fixed epsilon, a and c, the analytical stability region of this equation is known and it is the same for both the constant delay (c=0) and state dependent delay (c nonzero) cases. Different approaches are used to directly prove stability in parts of this analytic region for the state dependent DDE: first using a Gronwall argument and then using a Lyapunov-Razumikhin method which is a generalisation of the work of Barnea [6] who considered the mu=c=0 case. The parameter regions in which stability is proven by these methods contain the entire delay independent portion of the analytical stability region and parts of the delay dependent portion. These methods are then extended to show the stability of the backward Euler method with linear interpolation applied to the model DDE. Using the Lyapunov-Razumikhin method, stability is proven in larger parameter regions that depend on the stepsize, but always contain the region found for the DDE. Analytic expressions for regions in which general Theta methods are stable were also derived and evaluated numerically. In the last chapter a new scheme for numerically integrating scalar DDEs with multiple state dependent delays is presented. This scheme is based on singularly diagonally implicit Runge-Kutta (SDIRK) methods in order to solve stiff problems such as the equation above with small epsilon. Due to the nature of SDIRK methods, if there is no overlapping then at each step a set of scalar equations are solved one-by-one using a Newton-bisection algorithm. New continuous extensions which are piecewise polynomial are chosen to accompany the SDIRK scheme so as not to destroy the SDIRK structure in the overlapping cases and to avoid the problem of spiking when there is a sharp change in the numerical solution. / Dans cette thèse, l'équation différentielle à retard (DDE) modèle d'état dépendant suivante est considérée,epsilon.u'(t) = mu.u(t) + sigma.u(t-a-c.u(t)).Pour epsilon, a et c fixés, la région de stabilité analytique de cette équation est connue et est la même pour le retard constant (c=0) ainsi que pour l'état de retard dépendant (c non nulle). Différentes approches sont utilisées pour prouver directement la stabilité dans certaines parties de cette région analytique pour la DDE d'état dépendant: d'abord en utilisant un argument de Gronwall, puis en utilisant une méthode de Lyapunov-Razumikhin qui est une généralisation du travail de Barnea [6] qui considère le cas mu = c = 0. Les régions de paramètres dans lesquelles la stabilité est prouvée par ces méthodes contiennent la partie entière de retard indépendant de la région de stabilité analytique et certaines parties de la portion de retard dépendant. Ces méthodes sont ensuite étendues pour montrer la stabilité de la méthode d'Euler arrière avec interpolation linéaire appliquée à la DDE modèle. En utilisant la méthode de Lyapunov-Razumikhin, la stabilité est prouvée dans des regions de paramètres plus grandes qui dépendent du pas de discrétisation, mais qui contiennent toujours la région trouvée pour la DDE. Des expressions analytiques pour les régions dans lesquelles les méthodes Theta générales sont stables ont également été tirées et évaluées numériquement. Dans le dernier chapitre d'un nouveau schéma pour intégration numérique des DDE scalaires avec des multiples retards d'état dépendant est présenté. Ce schéma est basé sur des méthodes de Runge-Kutta singulièrement et diagonalement implicites (SDIRK) afin de résoudre des problèmes raides tels que l'équation ci-dessus avec des petites valeurs de epsilon. En raison de la nature des méthodes SDIRK, s'il n'y a pas de chevauchement, alors à chaque iteration un ensemble d'équations scalaires sont résolues, une par une, en utilisant un algorithme de bissection de Newon. Des nouvelles extensions continues qui sont polynomiales par morceaux sont choisies pour accompagner le schéma SDIRK afin de ne pas détruire la structure SDIRK dans les cas de chevauchement et pour éviter le problème des piques quand il y a un changement brusque de la solution numérique.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.106523 |
| Date | January 2012 |
| Creators | Magpantay, Felicia Maria |
| Contributors | Antony Raymond Humphries (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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