This dissertation is a study of two independent problems from the common research area of boundary element methods used to solve elliptic boundary value problems. Both topics focus mainly on a single layer approach. For the first project we consider the Laplace-Beltrami Dirichlet problem on a subsurface of the unit sphere in R^3. We derive and analyze a boundary element method for a first-kind integral equation to solve this boundary value problem. The method can be used to study the motion of point vortices on a sphere with impenetrable walls; we compare our approach with previous methods in this field. We derive rigorous error estimates for approximations of the solution to the integral equation in appropriate Sobolev spaces which yield global error estimates for the solution of the boundary value problem. Moreover, we support the theoretical results with numerical evidence gathered from test cases. The second project is concerned with a multigrid preconditioning strategy for the acoustic single layer equation in two dimensions. As proposed in [6], we reformulate the boundary element method in a weaker base inner product and then use a V-cycle multigrid scheme with a Richardson type smoother. We provide a full convergence analysis for the proposed multigrid algorithm based on an analogous result for the single layer equation corresponding to the Laplace operator. Numerical experiments underline the performance of the algorithm. Moreover, we conduct a numerical study of the effect of the weak inner product on the oscillatory behavior of the corresponding eigenfunctions. / Cette dissertation est une étude de deux problèmes indépendants provenant du domaine commun de la recherche des méthodes d'éléments finis de frontière pour résoudre des problèmes aux limites elliptiques. Les deux sujets portent principalement sur l'approche de l'opérateur simple couche.Pour le premier projet nous considérons le problème de Laplace-Beltrami Dirichlet sur une sous-surface de la sphère de rayon 1. Nous dérivons et analysons une méthode à équations intégrales du premier type pour résoudre ce problème aux limites. Cette méthode peut être utilisée pour étudier le mouvement de tourbillons ponctuels sur une sphère avec des murs impénétrables; nous comparons notre approche avec d'autres méthodes connues pour ce problème. Nous dérivons rigoureusement des estimations d'erreur pour les équations intégrales dans les espaces de Sobolev appropriés, ce qui donne des estimations globales de l'erreur pour la solution du problème aux limites. De plus, nous appuyons ces résultats théoriques grâce à des simulations numériques obtenues à partir de tests.Le deuxième projet porte sur une stratégie de préconditionnement multigrille pour l'équation de simple couche acoustique en deux dimensions. Tel que proposé dans [6], nous transférons la formulation en termes d'éléments finis de frontière à un produit scalaire plus faible et utilisons par la suite une méthode multigrille V-cycle avec un lisseur de type Richardson. Nous fournissons une analyse complète de convergence pour l'algorithme proposé basée sur un résultat analogue pour l'équation de simple couche correspondant à l'opérateur de Laplace. Des simulations numériques soulignent la performance de l'algorithme. De plus, nous faisons une étude numérique de l'effet du produit scalaire faible sur le comportement oscillatoire des fonctions propres correspondantes.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.66653 |
| Date | January 2009 |
| Creators | Gemmrich, Simon |
| Contributors | Nilima Nigam (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
Page generated in 0.0018 seconds