Starting with the work of Mazur, Tate and Teitelbaum, various p-adic analogues of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture have been formulated. The case of an elliptic curve with split multiplicative reduction at the prime p is of special interest. In this so called ``exceptional zero'' case, the order of vanishing of the Mazur-Swinnerton-Dyer p-adic L-function at the central point seems to be one higher than it is in the classical case. Greenberg and Stevens proved results about this conjecture, using properties of the two variable Mazur-Kitagawa p-adic L-function L_p(E, k, s). Their proof relies on the fact that the Mazur-Kitagawa p-adic L-function L_p(E, k, s) vanishes along the central critical line s=k/2, and the fact that the restriction to k=2 is equal to the Mazur-Swinnerton-Dyer p-adic L-function attached to E. In the case where L_p(E, k, k/2) is not identically zero, a formula of Bertolini and Darmon gives a formula for its second derivative at k=2. Their formula is also valid for twists of the L-function by quadratic characters, and their method of proof relies essentially on the fact that the twisting character is quadratic. This thesis looks into possible generalizations of the result of Bertolini and Darmon in the case of twists by Dirichlet characters of higher order. / Depuis les travaux de Mazur, Tate et Teitelbaum, diverses conjectures ont été proposées qui sont analogues à celle de Birch et Swinnerton-Dyer, dans le cas p-adique. Cette thèse traite principalement le cas d'une courbe elliptique à réduction multiplicative déployée en p; ce cas est dit ``exceptionnel''. Dans ce cas, la multiplicité de zéro de la fonction L de Mazur et Swinnerton-Dyer au point central semble être une de plus que ce qui est prédit dans le cas classique. Greenberg et Stevens ont prouvé des résultats concernant cette conjecture en utilisant la fonction L de Mazur et Kitagawa, qui est une fonction L_p(E, k, s) de deux variables. Leur preuve se base sur le fait que la fonction L de Mazur et Kitagawa s'annule sur la ligne centrale critique s=k/2 et qu'elle est égal à la fonction L de Mazur et Swinnerton-Dyer quand k=2. Quand L_p(E, k, k/2) ne s'annule pas, Bertolini et Darmon ont trouvé une formule pour la dérivée seconde de L_p(E, k, k/2) en k=2. Leur formule tient encore quand on tord par un charactère quadratique. Cette thèse considère des généralizations conjecturales des travaux de Bertolini et Darmon lorsque le caractère est d'ordre supérieur à deux.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.92285 |
| Date | January 2010 |
| Creators | Gauthier-Shalom, Gabriel |
| Contributors | Henri Darmon (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Master of Science (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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