Pyramidal finite elements can be used as "glue" to combine elements with triangular faces (e.g. tetrahedra) and quadrilateral faces (e.g. hexahedra) in the same mesh. Existing pyramidal finite elements are low order or unsuitable for mixed finite element formulations. In this thesis, two separate families of pyramidal finite elements are constructed. The elements are equipped with unisolvent degrees of freedom and shown to be compatible with existing high order tetrahedral and hexahedral elements. Importantly, the elements are shown to deliver high order approximations and to satisfy a "commuting diagram property", which ensures their suitability for problems whose mixed formulation lies in the spaces of the de Rham complex. It is shown that all pyramidal elements must use non-polynomial basis functions and that this means that the classical theory of finite elements is unable to determine what quadrature methods should be used to assemble stiffness matrices when using pyramids. This problem is resolved by extending the classical theory and a quadrature scheme appropriate for high order pyramidal elements is recommended. Finally, some numerical experiments using pyramidal elements are presented. / Les éléments finis pyramidaux peuvent servir comme «colle» pour combiner des éléments avec faces triangulaires (p. ex. tétraèdres) et avec faces quadrilaterales (p. ex. hexaèdres) dans un même maillage. Les éléments finis pyramidaux qui existent présentement sont soit de bas-ordre ou ne sont pas convenables pour les formulations mixtes d'éléments finis. Dans cette thèse, deux familles d'éléments finis pyramidaux sont construites. Les éléments sont équipés de degrés de libertés unisolvents et on démontre qu'ils sont compatibles avec les éléments pré-existantes triangulaires et quadrilaterales d'ordres élevés. On démontre notamment que les éléments produisent des approximations d'ordres élevés et satisfassent une «propriété de diagramme commutatif». Ceci assure que les éléments sont convenables pour des problèmes avec formulation mixte dans les espaces du complexe de Rham. On démontre que tous les éléments pyramidaux doivent utiliser des fonctions de base non-polynômes et que conséquemment la théorie classique des éléments finis ne peut pas déterminer quelles méthodes de quadrature devrait être employées pour assembler des matrices de rigidité lorsque les pyramides sont utilisées. Le problème est résolu en élargissant la théorie classique et une méthode de quadrature appropriée pour les éléments finis pyramidaux est suggérée. Finalement, des simulations numériques avec éléments pyramidaux sont présentées.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.96844 |
| Date | January 2011 |
| Creators | Phillips, Joel |
| Contributors | Nilima Nigam (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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