The bifurcation diagram of a model nonlinear Langevin equation with delay is obtained. A finite delay implies non-Markovian behavior, and is the subject of current interest as such equations model delayed feedback loops in many settings, including the study of cell regulation. We show that the bifurcation remains sharp, both in the ranges of direct and oscillatory instabilities. Below threshold, the stationary distribution function is a delta function at the trivial state x = 0 despite the delay. At threshold, the stationary distribution function becomes a power law p(x) ∼ x ^a with −1 < a < 0, where a = −1 at threshold and monotonously increases with increasing value of the control parameter. Unlike the case without delay, the bifurcation threshold is shifted by fluctuations, and the shift scales linearly with the noise intensity D. / Le diagramme de bifurcation d' une équation de Langevin non linéaire retardée est obtenu. Un retard fini implique un processus non markovien. De telles équations permettent de modéliser des boucles d'autorégulation retardées dans de nombreux systèmes, incluant la régulation cellulaire. Nous démontrons que la bifurcation demeure aigüe dans les cas d'instabilités stationnaires et oscillatoires. Sous le seuil de bifurcation, la fonction de distribution de probabilité stationnaire est une fonction delta à la solution triviale x = 0, malgré la presence du retard. Au seuil de bifurcation, la distribution stationnaire devient une loi de puissance p(x) ∼ x ^a avec −1 < a < 0, où a = −1 au seuil and croît de facon monotone avec le paramètre de contrôle. Contrairement au cas non-retardé, le seuil de bifurcation est déplacé par les fluctuations, et ce déplacement augmente linéairement avec l'intensité du bruit D.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.32364 |
| Date | January 2009 |
| Creators | Lepine, Francoise |
| Contributors | Jorge Vinals (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Master of Science (Department of Physics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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