In this thesis, we will follow a paper by Bryant et al. in finding the necessary and sufficient conditions for the existence of a Levi-Civita connection within a given projective structure [gamma] on a surface. We will give an explicit formulation of a necessary condition, as an obstruction of order five in the Christoffel symbols of an arbitrary element of [gamma]. Our approach in finding this obstruction allows us to find sufficient conditions in the real analytic case as well. In terms of the Christoffel symbols of an arbitrary element of [gamma], the explicit forms of the sufficient conditions are of order six in generic case, and of order eight in non-generic case. All the formulations will be projectively invariant and will be expressed in point invariants of the second-order ODE whose integral curves are geodesics of [gamma]. We will use a machinery developed by Hitchin and LeBrun, that we call minitwistor theory, to find the moduli space of these integral curves. Using this machinery and the notion of densities on a manifold, we give geometric interpretations of the formulation of the problem and derive a projective property of the space of metrics whose Levi-Civita connections belong to [gamma]. / Dans cette thèse, nous analysons un travail de Bryant et al. portant sur l'obtention de conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'une connexion de Levi-Civita au sein d'une structure projective [gamma] sur une surface. Nous donnons une formulation explicite d'une condition nécessaire sous la forme d'une obstruction d'ordre cinq sur les coefficients de Christoffel d'un élément arbitraire de [gamma]. Dans le cas analytique, notre approche nous permet d'obtenir des conditions suffisantes. En termes des coefficients de Christoffel d'un élément arbitraire de [gamma], ces conditions suffisantes sont d'ordre six dans le cas générique et d'ordre huit dans le cas non-générique. Toutes les formulations obtenues sont projectivement invariantes et exprimées en termes d'invariants ponctuels des equations différentielles ordinaires d'ordre deux dont les solutions les géodésiques de [gamma]. Nous utlisons une technique développée par Hitchin et LeBrun, appelée théorie des mini-twisteurs, pour trouver l'espace des modules de ces courbes intégrales. En utlisant cette technique et la notion de densité sur une variété, nous donnons des interprétations géométriques de la formulation du problème et dérivons une propriété projectivement invariante de l'espace des métriques dont la connexion de Levi-Civita appartient a [gamma].
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.97244 |
| Date | January 2011 |
| Creators | Makhmali, Omid |
| Contributors | Niky Kamran (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Master of Science (Department of Mathematics and Statistics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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