Cette thèse est la poursuite des travaux entrepris dans [13] pour le développement d’un nouvel estimateur d’erreur de type hiérarchique. Cet estimateur permet d’adapter un maillage et d’obtenir des solutions plus précises d’une équation aux dérivées partielles. La méthode est relativement générale et peut s’appliquer à une grande variété de problèmes, et permet théoriquement de traiter des approximations de n’importe quel degré. Elle mène, lorsque la solution le permet, à des maillages fortement anisotropes et se compare avantageusement aux méthodes basées sur la définition d’une métrique. Des améliorations substantielles à la méthode ont été apportées dans le cadre de ce travail. Les principaux objectifs étant de réduire fortement les coûts de calcul associés à la méthode et de la rendre beaucoup plus robuste de manière générale. Ainsi, on a revu et amélioré les algorithmes de reconstruction des gradients par un scaling approprié, de réinterpolation des champs en introduisant une méthode de krigeage. On a également introduit un algorithme de remaillage des coquilles à l’aide d’une méthode dite de «ear clipping» originale en 3D. L’algorithme de déplacement de sommets a également été revu. Enfin la gestion des frontières courbes est également considérée. De nombreux exemples bi et tridimensionnels sont présentés pour illustrer l’efficacité de l’estimateur. Des problèmes académiques sont d’abord considérés, y compris des problèmes singuliers où on montre que l’on obtient des taux de convergence optimaux (par rapport au nombre de degrés de liberté). Par la suite, on s’intéresse à différents domaines d’applications, notamment en mécanique des fluides et en neurosciences. Enfin, un algorithme général pour l’adaptation de maillage dans le cas instationnaire sera également décrit et testé. / This thesis is the continuation of the work undertaken in [13] for the development of a new a posteriori error estimator based on hierarchical basis. This estimator allows to adapt a finite element mesh and to obtain more accurate solutions of various partial differential equations. Most importantly, it leads, whenever possible, to strongly anisotropic meshes, and compares favorably with methods based on the definition of a metric. The method is fairly general and can be applied to approximations of any degree and to a wide variety of problems. In this work, several significant improvements have been added to the initial method. The objectives being to substantially reduce the calculation costs associated with the method and to make it much more robust. Many substantial contributions have been made to the various algorithms. Let’s mention the introduction of an appropriate scaling in the gradient recovery method, kriging for the reinterpolation of the different fields during adaptation, an original ear clipping method in 3D for local remeshing. A different approach for nodes displacement is also condirered. Finally we detailled how we take care of curved borders. Many bi and three-dimensional examples are presented to illustrate the efficiency of the estimator. Academic problems are first considered, including classical singular problems where optimal rates of convergence are observed (relative to the number of degrees of freedom). Applications in different fields such as fluid mechanics and neurosciences are then considered. Finally an algorithm for time-dependent problems is presented and tested.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/28178 |
| Date | 24 April 2018 |
| Creators | Briffard, Thomas |
| Contributors | Fortin, André |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xv, 117 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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