During a crucial period in the formation of modern-day pure mathematics, Georg Cantor wrote that "the essence of mathematics lies precisely in its freedom". Similarly, David Hilbert, in his landmark work on the axiomatization of geometry, took the view that we are free to interpret the axioms of a mathematical theory as being about whatever can be made to satisfy them, independently of pre-axiomatic ideas, seemingly intuitive truths, or typical empirical scientific applications of that theory. Cantor's and Hilbert's emphasis on the independence of pure mathematics from philosophical preconceptions, empirical applications, and so on raises the question: what is it about?In this dissertation, I argue that essential to mathematics is a certain kind of structural abstraction, which I characterise in detail; furthermore, I maintain that this abstraction has to do with combination and manipulation of symbols. At the same time, I argue that essential to mathematics is also a certain kind of conceptual reflection, and that there is a sense in which mathematics can be said to be a body of truths by virtue of the meaning of its concepts. I argue further that a certain ongoing interplay of intuitive content on the one hand and abstraction or idealization on the other hand plays a significant part in shaping pure mathematics into its modern, axiomatic form. These arguments are made in the course of analyzing and building on the work of both historical and contemporary figures. / À une période cruciale de la formation des mathématiques pures modernes, Georg Cantor déclara que « l'essence des mathématiques, c'est la liberté ». De même, David Hilbert, dont l'oeuvre sur l'axiomatisation de la géométrie fut une étape charnière de l'élaboration des mathématiques modernes, soutenait que nous sommes libres d'interpréter les axiomes d'une théorie mathématique comme se rapportant à tout objet qui leur est conforme, indépendemment des idés préconçues, de ce qui semble intuitivement vrai et des applications scientifiques habituelles de la théorie en question. L'emphase que mettent Cantor et Hilbert sur l'indépendance des mathématiques pures des conceptions philosophiques préalables et des applications empiriques suscite la question: sur quoi, au fond, portent les mathématiques?Dans cette dissertation, je soutiens qu'une certaine forme d'abstraction structurelle, que je décris en détail, est essentielle aux mathématiques; de plus, je maintiens qu'à la base de cette abstraction sont la combinaison et la manipulation de symboles. En même temps, j'estime qu'au coeur des mathématiques est aussi un certain type de réflexion conceptuelle et qu'il existe un sens dans lequel les mathématiques sont un ensemble de vérités en vertu de la signification de leurs concepts. Je conclue qu'une intéraction continue entre le contenu intuitif d'un côté et l'abstraction ou l'idéalisation de l'autre joue un rôle important dans le développement des mathématiques axiomatiques modernes. J'avance ces arguments sur la base d'une analyse de travaux tant historiques que contemporains.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.119516 |
| Date | January 2013 |
| Creators | Magal, Oran |
| Contributors | Dirk Schlimm (Supervisor2), Michael Frank Hallett (Supervisor1) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Philosophy) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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