O multiplicador de Schur parcial de um grupo G é um semigrupo inverso comutativo pM(G) que, no estudo de representações parciais projetivas de grupos, desempenha um papel análogo ao do multiplicador de Schur clássico M(G). Há uma descrição de pM(G) como uma união de grupos abelianos, em que cada componente pM_D(G) é formada por classes de equivalência de certas funções parciais (chamadas de conjuntos fatores parciais), as quais assumem valores em um corpo e têm como domínio um subconjunto D de G × G. Os domínios D formam um reticulado e foram caracterizados como os subconjuntos T-invariantes de G × G, em que T é um monoide específico atuando em G × G. A componente total pM_(G), que corresponde aos conjuntos fatores totalmente definidos, é particularmente interessante pois contém M(G) como um de seus subgrupos e, além disso, qualquer outra componente é uma imagem epimorfa da componente total. Um dos objetivos deste trabalho é determinar a componente total do multiplicador de Schur parcial para algumas classes importantes de grupos, como os grupos diedrais, os grupos dicíclicos e os produtos de grupos cíclicos. Outro tópico que será abordado é a estrutura do reticulado dos domínios dos conjuntos fatores parciais, destacando-se propriedades daqueles que correspondem às representações parciais ditas elementares, as quais possuem um papel relevante na teoria. Provaremos que todo domínio pode ser representado em uma forma única como uma reunião de certos domínios indecomponíveis, que consistem de peças estruturais chamadas de blocos e domínios minimais. Também será determinada a estrutura dos domínios elementares e serão obtidos alguns invariantes numéricos do conjunto parcialmente ordenado dos domínios elementares. Como uma consequência dos resultados obtidos, serão caracterizados os grupos para os quais todos os domínios elementares são indecomponíveis. Além disso será feita uma aplicação da teoria de álgebras de semigrupos à álgebra parcial de grupo, que é uma álgebra responsável pelas representações parciais de grupos. / The partial Schur multiplier of a group G is a commutative inverse semigroup pM(G) which, in the study of partial projective representations, plays a role analogous to the classical Schur multiplier M(G). There is a description of pM(G) as a union of abelian groups, in which each component pM_D(G) is formed by the equivalence classes of certain partial functions (called partial factor sets), taking values in a field and having as its domain a subset D of G × G. The domains D form a lattice and were characterized as the T-invariant subsets of G × G, where T is a specific monoid acting on G × G. The total component pM_(G), which corresponds to the totally defined factor sets, is particularly interesting because it contains M(G) as one of its subgroups and, moreover, any other component is an epimorphic image of the total component. One of the objectives of this work is to determine the total component of the partial Schur multiplier for some important classes of groups, such as the dihedral groups, the dicyclic groups and the products of cyclic groups. Another topic which will be considered is the structure of the lattice of domains of partial factor sets, emphasizing properties of those domains that correspond to the so-called elementary partial representations, which play a relevant role in the theory. We shall prove that each domain can be represented in a unique way as a union of certain indecomposable domains, where the latter consists of the so-called blocks and minimal domains. The structure of the elementary domains also will be determined, and some numerical invariants of the partially ordered set of the elementary domains will be given. As a consequence of the obtained facts, the groups whose elementary domains are indecomposable will be characterized. We will also give an application of the theory of semigroup algebras to the partial group algebra, an algebra which is responsible for partial group representations.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-18062014-145026 |
| Date | 28 March 2014 |
| Creators | Helder Geovane Gomes de Lima |
| Contributors | Mikhailo Dokuchaev, Marcelo Muniz Silva Alves, Eduardo do Nascimento Marcos, Antonio Paques, Alveri Alves Sant\'Ana |
| Publisher | Universidade de São Paulo, Matemática, USP, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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