Ce mémoire présente une méthode de reconstruction de la surface d’un pare-brise à
partir d’une image observée au travers de celui-ci. Cette image est déformée, car les rayons
lumineux traversant le pare-brise subissent deux réfractions : une de chaque côté du verre.
La déformation de l’image est dépendante de la forme du pare-brise, c’est donc cette donnée
qui est utilisée pour résoudre le problème. La première étape est la construction d’un champ
de vecteurs dans l’espace ambiant à partir des déviations des rayons lumineux passant par
le pare-brise. Elle repose sur la loi de la réfraction de Snell-Descartes et sur des hypothèses
simplificatrices au sujet de la courbure et de l’épaisseur du pare-brise. Le vecteur en un point
de ce champ correspond à une prédiction du vecteur normal à la surface, sous l’hypothèse
que celle-ci passe par le point en question. La deuxième étape est de trouver une surface
compatible avec le champ de vecteurs obtenu. Pour y arriver, on formule un problème de
minimisation où la donnée minimisée est la différence entre les vecteurs normaux à la surface
et ceux construits à partir des mesures du système d’inspection. Il en résulte une équation
d’Euler-Lagrange non linéaire à laquelle on impose des conditions de Dirichlet. Le graphe de
la solution à ce problème est alors la surface recherchée. La troisième étape est une méthode
de point fixe pour résoudre l’équation d’Euler-Lagrange. Elle donne une suite d’équations
de Poisson linéaires dont la limite des solutions respecte l’équation non linéaire étudiée. On
utilise le théorème du point fixe de Banach pour obtenir des conditions suffisantes d’existence
et d’unicité de la solution, qui sont aussi des conditions suffisantes pour lesquelles la méthode
de point fixe converge. / This Master’s thesis presents a method for the reconstruction of a windshield surface using
an image observed through it. This image is distorted because the light rays passing through
the windshield undergo two refractions : one on each side of the glass. The distortion depends
on the windshield shape and therefore this data is used to solve the problem. The first step is
the construction of a vector field in the ambient space, from the deviations of the light rays
passing through the windshield. This step relies on the Snell-Descartes refraction law and
on simplifying assumptions regarding the curvature and thickness of a windshield. A vector
at a point of this field corresponds to a prediction of the surface normal vector at this point,
under the hypothesis that this point lies on the surface. The second step is to find a surface
that is compatible with the obtained vector field. For this purpose, a minimisation problem
is formulated for which the minimized variable is the difference between the surface normal
vector and the one deduced from the system’s measurements. This leads to a nonlinear Euler-
Lagrange equation for which the Dirichlet boundary conditions are imposed. The graph of
the solution is the desired surface. The third step is a fixed-point method to solve the Euler-
Lagrange equation. At the center of this method is a sequence of linear Poisson equations,
each giving an approximating solution. It is shown that the limit of this sequence of solutions
respects the original nonlinear equation. The Banach fixed-point theorem is used to get
sufficient existence and uniqueness conditions, that are also sufficient conditions under which
the proposed fixed-point method converges.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/27965 |
| Date | 09 1900 |
| Creators | Dion-St-Germain, Antoine |
| Contributors | Bourlioux, Anne, Saint-Aubin, Yvan |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | thesis, thèse |
| Format | application/pdf |
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