Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2024 / Le présent document est un compte rendu de 5 articles écrits pour l'obtention du doctorat en mathématiques à l'Université Laval. La thèse peut être divisée en deux thèmes principaux. Les chapitres 1, 2 et 3 traitent de la théorie d'Iwasawa pour les variétés abéliennes sur des corps quadratiques imaginaires. Les chapitres 4 et 5 se situent dans le domaine de la statistique arithmétique. À l'aide de la théorie d'Iwasawa, on y étudie la distribution de certains invariants associés aux entrelacs et aux multigraphes. Le premier chapitre traite des équations fonctionnelles algébriques pour les variétés abéliennes supersingulières en p sur des corps quadratiques imaginaires. La théorie des applications de Coleman développée par Büyükboduk et Lei nous permet de construire des groupes de Selmer appropriés pour cette situation. Combinée avec la théorie des Γ-systèmes de Lai, Longhi, Tan et Trihan, nous démontrons l'équation fonctionnelle telle que conjecturée par Mazur. Finalement, on discute des équations fonctionnelles pour les groupe de Selmer 75{75 définis par Sprung. Dans le deuxième chapitre, écrit en collaboration avec Jishnu Ray, il est question de borner le 2 rang de variétés abéliennes dans une Z -extension d'un corps quadratique imaginaire. Tout p comme dans le chapitre 1, on considère des variétés abéliennes supersingulières en p. Le troisième chapitre étudie la conjecture de Mazur-Tate pour une courbe elliptique de ré2 -extension d'un corps quadratique imaginaire. La conjecture duction ordinaire en p et la Z p de Mazur-Tate classique stipule que les éléments de Mazur-Tate sont inclus dans l'idéal de Fitting du dual du groupe de Selmer pour une extension finie incluse dans la Z -extension p cyclotomique des nombres rationnels. En étudiant une généralisation des éléments de MazurTate dû à Haran ainsi que le groupe de Selmer sur une algèbre d'Iwasawa de deux variables, nous montrons que ces éléments engendrent l'idéal de Fitting du dual du groupe de Selmer. Le quatrième chapitre, écrit en collaboration avec Anwesh Ray, porte sur des questions de statistiques arithmétiques en théorie d'Iwasawa des entrelacs. Un entrelacs est une collection disjointe de nœuds dans l'espace. Pour un revêtement de la 3-sphère ramifié aux points d'un entrelacs dont le groupe de Galois est isomorphe à Z , il est possible d'associer au revêtement p des invariants d'Iwasawa. Nous étudions la distribution de ces invariants lorsque l'entrelacs varie dans la famille des « 2-bridge links » . Finalement, le cinquième chapitre traite de la statistique arithmétique en théorie d'Iwasawa des multigraphes. Ce chapitre est écrit en collaboration avec Anwesh Ray, Antonio Lei et Daniel Vallières. Si X est un multigraphe connexe, on construit une tour de revêtements par des multigraphes connexes avec la propriété que le groupe de Galois de l'un de ces multigraphes sur X est isomorphe aux entiers modulo une puissance de p. Des invariants d'Iwasawa peuvent alors être associés à une telle tour de revêtements. On étudie la distribution des invariants d'Iwsawa lorsque le multigraphe de base X varie dans la famille des bouquets, des multigraphes à deux arêtes et des graphes complets.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/151648 |
| Date | 21 October 2024 |
| Creators | Dion, Cédric |
| Contributors | Chapdelaine, Hugo, Lei, Antonio |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (ix, 173 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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