L'objectif de cette thèse est d'étudier les propriétés de variétés toriques particulières. La thèse est divisée en trois parties, les deux premières étant fortement liées. Dans la première partie, nous étudions des variétés algébriques associées aux processus de Markov sur les arbres. A chaque processus de Markov sur un arbre on peut associer une variété algébrique. Motivé par la biologie, nous nous concentrons sur les processus de Markov dé finis par une action de groupe. Nous étudions les conditions pour que la variété obtenue soit torique. Nous donnons un résultat où les variétés obtenues sont normales, ainsi que des exemples où elles ne le sont pas. L'une des principales méthodes que nous utilisons est la généralisation des notions de prises et de réseaux introduites dans [BW07] à des groupes abéliens arbitraires. Dans notre contexte, les réseaux forment un groupe qui agit sur la variété. Par ailleurs, l'espace ambiant de lavariété est la représentation régulière de ce groupe. Le principal problème ouvert que nous essayons de résoudre dans cette partie est une conjecture de Sturmfels et Sullivant [SS05, Conjecture 2] indiquant que le schéma a fine associé au modèle 3-Kimura estdé fini par un idéal engendré en degré 4. Notre meilleur résultat dit que le schéma projectif associé peut être dé fini par un idéal engendré en degré 4. Avec Maria Donten -Bury, nous proposons une méthode pour engendrer l'idéal associé à la variété pour tous les modèles. Nous montrons que notre méthode fonctionne pour de nombreux modèles ainsi que pour les arbres si et seulement si la conjecture de Sturmfels et Sullivant est vraie. Nous présentons quelques applications, par exemple au problème d'identi abilité en biologie. La deuxième partie concerne les variétés algébriques associées aux graphes trivalents pour le modèle de Jukes-Cantor binaire. Il s'agit d'un travail en commun avec Weronika Buczyńska, Jarosław Buczyński et Kaie Kubjas. La variété associée á un graphe peut être représentéevpar un semi-groupe gradué. Nous étudions les liens entre les propriétés du graphe et le semigroupe. Le théorème principal borne le degré en lequel le semi-groupe est engendré par le premier nombre de Betti du graphe, plus un. Dans la dernière partie, nous étudions la structure de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents des variétés toriques lisses. Dans un travail commun avec Michał Lasoń [LM11], nous construisons une collection fortement exceptionnelle complète de fi brés en droites pour une grande classe de variétés toriques complètes lisses dont le nombre de Picard est égal á trois. De nombreuses questions concernant le type de collections auxquelles on peut s'attendre sur les variétés toriques de certains types sont encore ouvertes. A ce titre, nous prouvons que Pn éclaté en deux points ne possède pas de collection fortement exceptionnelle complète de fibrés en droites pour n assez grand. Ceci fournit une collection infi nie de contre-exemples à la conjecture de King. Le premier contre-exemple est dû à Hille et Perling [HP06]. Récemment, des contre-exemples ont également été trouvés par E mov [E ] dans le cadre des variétés de Fano. Nous allons travailler sur le corps des nombres complexes C. Toutes les variétés considérées sont des variétés algébriques dans le sens de [Har77].
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00721742 |
| Date | 29 March 2012 |
| Creators | Michalek, Mateusz |
| Publisher | Université de Grenoble |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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