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Previous issue date: 2016-07-29 / CNPq / O cálculo de variações é um problema matemático que consiste em buscar máximos e mínimos (ou, mais geralmente, extremos relativos) de funções contínuas definidas sobre algum espaço funcional. Constituem uma generalização do cálculo elementar de máximos e mínimos de funções reais de uma variável. Ao contrário deste, o cálculo das variações lida com os funcionais, enquanto o cálculo ordinário trata de funções. Funcionais podem, por exemplo, ser formados por integrais envolvendo uma função incógnita e suas derivadas. O interesse está em funções extremas - aquelas que fazem o funcional atingir um valor máximo ou mínimo - ou de funções fixas - aquelas onde a taxa de variação do funcional é precisamente zero. Talvez o exemplo mais simples seja o de encontrar a curva com o menor comprimento possível ligando dois pontos. Se não houver restrições, a solução é (obviamente) uma linha reta ligando estes pontos. No entanto, se as possibilidades para esta curva estiverem restritas a uma determinada superfície no espaço, então a solução é menos óbvia e, possivelmente, muitas soluções podem existir. Tais soluções são conhecidas como geodésicas. Um problema relacionado a este é representado pelo princípio de Fermat: a luz segue o caminho de menor comprimento óptico ligando dois pontos, onde o comprimento óptico depende do material de que é composto o meio. Um conceito correspondente em mecânica é o princípio da mínima ação. Nesta dissertação faremos uma exposição dos principais conceitos do cálculo variacional com ênfase na equação de Euler-Lagrange, que trata-se de uma condição necessária para extremos locais de uma determinada classe de funcionais. Nosso objetivo principal é estudar os problemas de extremidades fixas com e sem vínculos para tratar o problema de Sturm-Liouville por meio de uma abordagem variacional. Veremos que cada autovalor do problema de Sturm-Liouville é obtido pela resolução de um problema variacional de minimização para depois, através desse fato, conseguirmos estimativas para esses autovalores. / Calculus of variations is a field of mathematical analysis that deals with maximizing or minimizing functionals, which are mappings from a set of functions to the real numbers. Functionals are often expressed as definite integrals involving functions and their derivatives. The interest is in extremal functions that make the functional attain a maximum or minimum value – or stationary functions – those where the rate of change of the functional is zero. A simple example of such a problem is to find the curve of shortest length connecting two points. If there are no constraints, the solution is obviously a straight line between the points. However, if the curve is constrained to lie on a surface in space, then the solution is less obvious, and possibly many solutions may exist. Such solutions are known as geodesics. A related problem is posed by Fermat’s principle: light follows the path of shortest optical length connecting two points, where the optical length depends upon the material of the medium. One corresponding concept in mechanics is the principle of least action. In this dissertation we present the main concepts of the variational calculus emphasizing the Euler-Lagrange equation, that is a necessary condition for local extrema of a particular class of functionals. Our main aim is to study the problems of fixed ends with and without constraints to address the Sturm-Liouville problem through a variational approach. We will see that each eigenvalue of the Sturm-Liouville problem is obtained by solving a variational minimization problem and then, by this fact, we get estimates for these eigenvalues.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufpe.br:123456789/27634 |
| Date | 29 July 2016 |
| Creators | OLIVEIRA, Renato Soares de |
| Contributors | http://lattes.cnpq.br/0559184209749319, LEANDRO, Eduardo Shirlippe Góes |
| Publisher | Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pos Graduacao em Matematica, UFPE, Brasil |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFPE, instname:Universidade Federal de Pernambuco, instacron:UFPE |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazil, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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