Soient k, n des entiers avec 1 ≤ k ≤ n − 2. On cherche le suprémum ω(n, k) des
nombres ω avec la propriété suivante. Pour tout point u ∈ ℝ^n u à coordonnées linéairement indépendantes sur ℚ, tout sous-espace E de ℝ^n orthogonal à u de dimension k et tout δ > 0, il existe une infinité de points non nuls x ∈ ℤ^n formant un angle au plus δ avec E tels que |x·u| ≤ ∥x∥^−ω. Ici, x·u désigne le produit scalaire de x avec u et ∥x∥ désigne la norme de x. En posant ν(m) = (m − 1 +√(m² + 2m − 3))/2, Schmidt (1976) a démontré que ω(3, 1) ≥ ν(2), puis Thurnheer (1990) a obtenu ω(n, n − 2) ≥ ν(n−1) en général. En 2014, Roy a établi que ω(3, 1) = ν(2). Dans ce mémoire, on montre que ω(n, 1) = ν(2) quel que soit n, on simplifie l’argument de Thurnheer et on montre que ω(n, k) ≥ ν(k+1) en général. On répond également à une question connexe de Badziahin et Bugeaud.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uottawa.ca/oai:ruor.uottawa.ca:10393/42504 |
| Date | 09 August 2021 |
| Creators | Champagne, Jérémy |
| Contributors | Roy, Damien |
| Publisher | Université d'Ottawa / University of Ottawa |
| Source Sets | Université d’Ottawa |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Thesis |
| Format | application/pdf |
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