[pt] Nos Fundamentos da Aritmética (parágrafo 68), Frege propõe definir explicitamente
o operador-abstração ´o número de...´ por meio de extensões e, a partir desta
definição, provar o Princípio de Hume (PH). Contudo, a prova imaginada por
Frege depende de uma fórmula (BB) não provável no sistema em 1884.
Acreditamos que a distinção entre sentido e referência e a introdução dos valores
de verdade como objetos foram motivada para justificar a introdução do Axioma
IV, a partir do qual um análogo de (BB) é provável. Com (BB) no sistema, a prova
do Princípio de Hume estaria garantida. Concomitantemente, percebemos que
uma teoria unificada das extensões só é possível com a distinção entre sentido e
referência e a introdução dos valores de verdade como objetos. Caso contrário,
Frege teria sido obrigado a introduzir uma série de Axiomas V no seu sistema, o
que acarretaria problemas com a identidade (Júlio César). Com base nestas
considerações, além do fato de que, em 1882, Frege provara as leis básicas da
aritmética (carta a Anton Marty), parece-nos perfeitamente plausível que as estas
provas foram executadas adicionando-se o PH ao sistema lógico de
Begriffsschrift. Mostramos que, nas provas dos axiomas de Peano a partir de PH
dentro da conceitografia, nenhum uso é feito de (BB). Destarte, não é necessária a
introdução do Axioma IV no sistema e, por conseguinte, não são necessárias a
distinção entre sentido e referência e a introdução dos valores de verdade como
objetos. Disto, podemos concluir que, provavelmente, a introdução das extensões
nos Fundamentos foi um ato tardio; e que Frege não possuía uma prova formal de
PH a partir da sua definição explícita. Estes fatos também explicam a demora na
publicação das Leis Básicas da Aritmética e o descarte de um manuscrito quase
pronto (provavelmente, o livro mencionado na carta a Marty). / [en] In The Foundations of Arithmetic (paragraph 68), Frege proposes to define explicitly
the abstraction operator ´the number of …´ by means of extensions and, from this
definition, to prove Hume´s Principle (HP). Nevertheless, the proof imagined by
Frege depends on a formula (BB), which is not provable in the system in 1884. we
believe that the distinction between sense and reference as well as the introduction
of Truth-Values as objects were motivated in order to justify the introduction of
Axiom IV, from which an analogous of (BB) is provable. With (BB) in the system,
the proof of HP would be guaranteed. At the same time, we realize that a unified
theory of extensions is only possible with the distinction between sense and
reference and the introduction of Truth-Values as objects. Otherwise, Frege would
have been obliged to introduce a series of Axioms V in his system, what cause
problems regarding the identity (Julius Caesar). Based on these considerations,
besides the fact that in 1882 Frege had proved the basic laws of Arithmetic (letter
to Anton Marty), it seems perfectly plausible that these proofs carried out by
adding to the Begriffsschrift´s logical system. We show that in the proofs of
Peano s axioms from HP within the begriffsschrift, (BB) is not used at all. Thus,
the introduction of Axiom IV in the system is not necessary and, consequently,
neither the distinction between sense and reference nor the introduction of Truth-
Values as objects. From these findings we may conclude that probably the
introduction of extensions in The Foundations was a late act; and that Frege did
not hold a formal proof of HP from his explicit definition. These facts also explain
the delay in the publication of the Basic Laws of Arithmetic and the abandon of a
manuscript almost finished (probably the book mentioned in the letter to Marty).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:13942 |
| Date | 30 July 2009 |
| Creators | ALESSANDRO BANDEIRA DUARTE |
| Contributors | OSWALDO CHATEAUBRIAND FILHO |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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