By using singular integral kernels based on the fundamental solution, a partial differential equation (PDE) can be rewritten as a boundary integral defined at the boundary of a domain. This requires a linear differential operator with coefficients that are isotropic and homogeneous in space. In this report, emphasis is put on PDE’s related to electromagnetics i.e., Laplace’s and Helmholtz equation. Both three- and two-dimensional model problems will be investigated. Galerkin’s method is implemented in order to discretize the domain, now with one less spatial dimension. Hence, the solution is expanded in a series of shape functions 'I whereafter the equation is multiplied by a test function and integrated over the boundary. The resulting matrix elements are double integrals between one shape function 'I and one test function vj integrating vertex i and j in the generated mesh. Unlike a strict BEM implementation, this report will cover a coupled BEM and FEM solver using Costabel’s Symmetric Coupling. Hence, the resulting system of equations, represented by the stiffness matrix K, consists of both sparse and dense parts originating from the different methods. FEM is usually defined in a domain where there exist non-linearities and BEM is implemented at its boundary in order to simulate an infinite domain as efficiently as possible. Furthermore, the integrals in K are transformed using two coordinate transforms: one to the reference element and another to avoid the singularity due to the integral kernel. The latter is modified for each case of integration, namely same elements, same edge, same vertex, close elements and distant elements. The objective of this report is to investigate how the settings for the numerical integration i.e., the quadrature corresponding to the different cases, affect the accuracy of the final solutions to the given PDE’s. However, an element in K is an integral of a function S which characteristics depend on several things, namely the order of the shape functions, the integral kernel and the element order of the mesh. In order to facilitate the error estimation, the numerical results will be generated from the model problems where the analytical solution is known. An efficient quadrature is achieved when the error originating from the numerical integration of S is small or neglected in comparison to the truncation errors i.e., errors originating from meshing and discretization. The thesis is written in close collaboration with the Swedish software company COMSOL Multiphysics®, thus all numerical results will be generated from this software using version 4.4. / Genom att använda singulära integralkärnor baserade på den fundamentala lösningen kan en partiell differentialekvation (PDE) omskrivas som en randintegral definierad på randen av en domän. Detta kräver en linjär differentialoperator med tillhörande isotropiska och homogena koefficienter. Denna rapport fokuserar på PDE:er relaterade till elektromagnetism vilket innebär att fokus kommer läggas på Laplace’s ekvation och Poissons ekvation. Både två- och tre-dimensionella modellproblem kommer att undersökas. För att diskretisera geometrierna används Galerkin’s metod, nu med en mindre spatiell dimension. Följaktligen expanderas lösningen i en serie av shapefunktioner 'i varefter ekvationen multipliceras med en testfunktion och sedan integreras över randen. I tre dimensioner blir de resulterande matriselementen dubbelintegraler mellan en shapefunction 'i och en testfunction vj vilka integrerar vertex i och j i den genererade meshen. Genom att använda Costabel’s Symmetric Coupling kommer denna rapport, till skillnad från en strikt BEM-implementation, behandla en kopplad FEM-/BEMlösare. Det slutgiltiga systemet av ekvationer, vilket representeras av stiffnessmatrisen K, består därför både av glesa och fyllda delar vilka härstammar från de olika metoderna. Vanligtvis är FEM definierat i en domän i vilken det existerar olinjäriteter medan BEM är implementerat på domänens rand för att så effektivt som möjligt simulera en infinit domän. Vidare, integralerna i K transformeras genom två koordinattransformer: en till referenselementet och en annan införd i syfte att undvika singulariteten som uppkommer till följd av integralkärnan. Den senare är modifierad för varje integrationsfall, nämligen samma element, samma kant, samma vertex, närliggande element och avlägsna element. Målet med rapporten är att undersöka hur inställningarna för den numeriska integrationen, eller kvadraturen, för de olika integrationsfallen påverkar noggrannheten av den slutgiltiga lösningen till de givna PDE:erna. Ett element i K är en integral av en funktion S vars karaktär beror på flertalet saker, nämligen shapefunktionsordningen, integralkärnan och meshelementens ordning. För att underlätta feluppskattningen kommer de numeriska resultaten baseras på problem där den analytiska lösningen redan är känd. En effektiv kvadratur är uppnådd när felet som grundar sig i den numeriska integrationen av S är litet eller försumbart i jämförelse med trunkeringsfelet, d.v.s. fel som uppstår vid meshning och diskretisering. Rapporten är skriven i nära samarbete med det svenska mjukvaruföretaget COMSOL Multiphysics® och samtliga numeriska resultat kommer därför genereras med hjälp av denna mjukvara, mer specifikt version 4.4.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-150124 |
| Date | January 2014 |
| Creators | Friberg, Gustav |
| Publisher | KTH, Numerisk analys, NA |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-MAT-E ; 2014:47 |
Page generated in 0.1949 seconds